Differenziali e derivate-notazioni.

[turtle87crociato]

Leggo da wikipedia questa cosa, a proposito della notazione usata per indicare la derivata:

"La prima che compare storicamente:

$f'(x) = (\frac {d f}{d x})_{(x_0)}$

ancora oggi usata in fisica".

Poi so che per evidenti ragioni geometriche (ma non solo), la derivata di una funzione in un punto $x_0$ è uguale a $df/dx$, indicando con $df$ il "differenziale" di una funzione nel punto $x_0$ relativo all'incremento $\Delta x$. A $\Delta x$ si "sostituisce" $dx$ (chiamando x la funzione identica etc. etc.).

Quello che voglio sapere è la seguente cosa:

C'è correlazione tra i simboli $dx, df$ della definizione di derivata e i differenziali che si indicano con gli stessi simboli? A rigore non sarebbero la stessa cosa... Vabbè, è meglio che lasci la parola a voi che ne sapete più di me...

[roberta771]

data la funzione f(x) il suo differenziale risulta essere df(x, Dx)=f'(x)Dx dove Dx indica l' incremento della variabile dipendente
ora se prendiamo f(x)=x il suo differenziale risulta essere dx= Dx , quindi da qui si deduce che df(x)=f'(x)dx
quindi a te la conclusione

[gugo82]

Quando esiste, il differenziale di una funzione di una variabile in un punto $x_0$ è un'applicazione lineare (non un numero!!!), ossia $("d"f)_(x_0)(x):=l*x$ (con $x\in RR$); se la $f$ è differenziabile in $x_0$ (ovvero se esiste $l\in RR$ tale che $\lim_(x\to x_0) (f(x)-f(x_0)-l*(x-x_0))/(x-x_0)=0$) allora $f$ è drivabile in $x_0$ e si ha $f'(x_0)=l$, cosicché è possibile scrivere $("d"f)_(x_0)(x)=f'(x_0)*x$.
In particolare se $f(x)=I(x):=x$ (ossia se $f$ è l'identità $I$ di $RR$) si ha $("d"I)_(x_0)(x)=x$ per ogni $x_0$, relazione che possiano scrivere con abuso $("d"x)_(x_0)=x$; con grande abuso di notazione alcuni riscrivono l'uguaglianza precedente come $"d"x=x$, in cui né compare il punto $x_0$ (in cui si calcola il differenziale) né si mette in evidenza che $"d"x$ è un'applicazione lineare e non numero di $RR$!
La scrittura $"d"x=x$ genera quindi confusione tra due livelli, perché identifica un'applicazione lineare ($"d"x$) con un numero ($x$).

La morale è la seguente.
Il simbolo $(("d"f)/("d"x))(x_0)$ è solo un simbolo usato per denotare il numero $f'(x_0)$ che può essere usato in certe situazioni (ad esempio quando si applica il Teorema di derivazione delle funzioni composte) a patto di non attribuire alcun significato specifico ai due simboli $"d"f$ e $"d"x$ separatamente.
Viceversa ai simboli $("d"f)_(x_0)$ e $("d"x)_(x_0)$ hanno un preciso significato analitico, che è quello specificato sopra; il loro rapporto $(("d"f)/("d"x))_(x_0)(x)$ è il rapporto di due applicazioni lineari e perciò è una funzione costante (ed uguale ad $f'(x_0)$) in tutto $RR\setminus \{ 0\}$ che può essere prolungata con continuità su tutto $RR$ (evidentemente!). Pertanto $(("d"f)/("d"x))_(x_0) (x)$ è l'applicazione costante che assume il valore $f'(x_0)$ e non è un numero.