Differenziali di 2° grado non omogenee
Ciao a tutti! Ho qualche problema a capire il metodo, potete dirmi se questo è giusto? Credo di sì perché ho seguito gli esempi del libro, ma non ne sono certa. Potreste farmi una correzione, per favore? 
$y''+3y'+2y=x^2+2x$
Il polinomio associato all'omogenea è $lambda^2+3lambda+2=(lambda+2)(lambda+1)$ $lambda=-2,-1$
La soluzione dell'omogenea è quindi $c_1e^(-2x)+c_2e^(-x)$
A questo punto risolvo il sistema $ { ( c'_1e^(-2x)+c'_2e^(-x)=0 ),( -2c'_1e^(-2x)-c_2e^(-x)=x^2+2x ):} $ $ { ( c'_1=(c'_2e^(-x))/e^(-2x)=c'_2e^x ),( -2c'_2e^(-x)-c_2e^(-x)=x^2+2x ):} $ $ { ( idem ),( -3c'_2e^(-x)=x^2+2x ):} $ $ { ( c'_1=-1/3(x^2+2x)e^(2x) ),( c'_2= ):} $
A questo punto trovo una soluzione particolare dell'equazione completa:
$ bar (y)(x)=e^(-2x)int _(0)^(x) (-1/3(x^2+2x)e^(2x)dx)+e^(-x) int_(0)^(x) (-1/3(x^2+2x)e^(x)dx) $
L'integrale generale ha quindi la forma $y(x)= bar(y)(x)+c_1e^(-2x)+c_2e^(-x).
$y''+3y'+2y=x^2+2x$
Il polinomio associato all'omogenea è $lambda^2+3lambda+2=(lambda+2)(lambda+1)$ $lambda=-2,-1$
La soluzione dell'omogenea è quindi $c_1e^(-2x)+c_2e^(-x)$
A questo punto risolvo il sistema $ { ( c'_1e^(-2x)+c'_2e^(-x)=0 ),( -2c'_1e^(-2x)-c_2e^(-x)=x^2+2x ):} $ $ { ( c'_1=(c'_2e^(-x))/e^(-2x)=c'_2e^x ),( -2c'_2e^(-x)-c_2e^(-x)=x^2+2x ):} $ $ { ( idem ),( -3c'_2e^(-x)=x^2+2x ):} $ $ { ( c'_1=-1/3(x^2+2x)e^(2x) ),( c'_2= ):} $
A questo punto trovo una soluzione particolare dell'equazione completa:
$ bar (y)(x)=e^(-2x)int _(0)^(x) (-1/3(x^2+2x)e^(2x)dx)+e^(-x) int_(0)^(x) (-1/3(x^2+2x)e^(x)dx) $
L'integrale generale ha quindi la forma $y(x)= bar(y)(x)+c_1e^(-2x)+c_2e^(-x).
Risposte
Quella che stai considerando è una equazione lineare non omogenea a coefficienti costanti. Per essa c'è un preciso metodo di risoluzione. Non era necessario applicare il metodo di variazione delle costanti, anche se l'applicarlo non è poi sbagliato.
Attenzione a questo passaggio in cui è saltato un segno $-$ nella prima equazione a sistema.
Attenzione a questo passaggio in cui è saltato un segno $-$ nella prima equazione a sistema.
A questo punto risolvo il sistema $ { ( c'_1e^(-2x)+c'_2e^(-x)=0 ),( -2c'_1e^(-2x)-c_2e^(-x)=x^2+2x ):} $ $ { ( c'_1=(c'_2e^(-x))/e^(-2x)=c'_2e^x ),( -2c'_2e^(-x)-c_2e^(-x)=x^2+2x ):} $$
.
Ops, è vero! Hai ragione. A parte questo, però, è giusto?
so che c'è anche il metodo della somiglianza, ma il libro dice che quello della variazione delle costanti è sempre applicabile, anche se a volte appesantisce un po' calcoli. Però francamente il metodo della somiglianza non riesco proprio a capirlo...
so che c'è anche il metodo della somiglianza, ma il libro dice che quello della variazione delle costanti è sempre applicabile, anche se a volte appesantisce un po' calcoli. Però francamente il metodo della somiglianza non riesco proprio a capirlo...
Apportata la correzzione al segno e rifacendo i conti il procedimento è corretto.
Ad essere pignoli poi non è proprio giusto scrivere una cosa di questo tipo
si dovrebbe scrivere:
$ bar (y)(x)=e^(-2x)int _(0)^(x) (-1/3(t^2+2t)e^(2t)dt)+e^(-x) int_(0)^(x) (-1/3(t^2+2t)e^(t)dt)$
Personalmente non conosco il "metodo della somiglianza" probabilmente io lo conosco sotto altro nome.
Ciao
Ad essere pignoli poi non è proprio giusto scrivere una cosa di questo tipo
$ bar (y)(x)=e^(-2x)int _(0)^(x) (-1/3(x^2+2x)e^(2x)dx)+e^(-x) int_(0)^(x) (-1/3(x^2+2x)e^(x)dx) $
.
si dovrebbe scrivere:
$ bar (y)(x)=e^(-2x)int _(0)^(x) (-1/3(t^2+2t)e^(2t)dt)+e^(-x) int_(0)^(x) (-1/3(t^2+2t)e^(t)dt)$
Personalmente non conosco il "metodo della somiglianza" probabilmente io lo conosco sotto altro nome.
Ciao
Grazie ancora
Grazie dissonance,
il metodo lo conosco bene, non sapevo però che si chiamasse "della somiglianza".
il metodo lo conosco bene, non sapevo però che si chiamasse "della somiglianza".
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