Differenziale...conferma
Ciao
per questo non mi servono nè formule nè funzioni vorrei solo una conferma modifica critica...insomma ditemi se baglio e perchè.
il mio problema è quello di definire il differenziale...
nel caso di una sola variabile la funzione $f(x^*)+ f'(x^*)(x-x^*)$ è la miglior approssimazione lineare e risulta tangente nel pto $(x^*,f(x^*))$;
nel caso ci siano piu variabili c'è il gradiente della funzione al posto della tangente, esso è l' iperpiano passante per le $n$ ennuple.
nel gradiente compaiono le $n$ derivate della funzione $f(x^*)$ rispetto alle altre variabili.
quidi il differenziale è l'incremento della funzione $f(x^*)$ quando il punto $x^*$ subisce un incremento infinitesimale delle suae componenti.
per questo non mi servono nè formule nè funzioni vorrei solo una conferma modifica critica...insomma ditemi se baglio e perchè.
il mio problema è quello di definire il differenziale...
nel caso di una sola variabile la funzione $f(x^*)+ f'(x^*)(x-x^*)$ è la miglior approssimazione lineare e risulta tangente nel pto $(x^*,f(x^*))$;
nel caso ci siano piu variabili c'è il gradiente della funzione al posto della tangente, esso è l' iperpiano passante per le $n$ ennuple.
nel gradiente compaiono le $n$ derivate della funzione $f(x^*)$ rispetto alle altre variabili.
quidi il differenziale è l'incremento della funzione $f(x^*)$ quando il punto $x^*$ subisce un incremento infinitesimale delle suae componenti.
Risposte
dunque il differenziale di un'applicazione da $R^n$ in $R^m$ è un'applicazione LINEARE da $R^n$ in $R^m$ che ti dice come varia l'iperpiano tangente in un punto(nel senso per ogni direzione(retta) che scegli sulla quale allontanarti da un punto fissato f(x*) ti dà l'analogo unidimensionale f'(x*)(x-x*))quando ti muovi lungo una particolare direzione (x-x*)..il gradiente non è un iperpiano ma è un vettore che però ti definisce un iperpiano se visto come elemento del duale di R^n..mi spiego meglio gli elementi del duale di uno spazio vettoriale $V$ su $R$ sono i funzionali $F:V--->R$, ora se hai un'applicazione lineare $A$ tra spazi vettoriali da un teorema di algebra lineare sai che vale la decomposizione $ ker(A)+Ran(A)=V$ dove la somma è diretta, quindi nel caso dei funzionali, a parte il funzionale =0 gli altri sono tutti surriettivi e vale $Ker(F)+R=R^n$ da cui hai che $ker(F)$ ha dimensione n-1 e quindi è un iperpiano..ora esiste un teorema(di Rietz) che vale anche per spazi vettoriali di dim infinita il quale afferma che se hai un prodotto scalare $<,>$ per ogni funzionale $F$ esiste un elemento $h$ dello spazio vettoriale per cui hai $F(v)=$..nel nostro caso hai che il funzionale F è il differenziale e h è il gradiente per cui $df(x-x*)=$ nota che (x-x*) è un vettore del piano tangente,cioè vive intorno a x*, non dello spazio affine!!
Caro lugliosr
Io direi così: nel caso di una variabile la retta tangente è la miglior approssimazione lineare (per la verità affine)
vicino al punto. Nel caso di più variabili (in partenza - in arrivo teniamoci $RR$) cosa sostituisce la retta tangente?
Beh sarà ragionevole cercare un un (iper)piano tangente. Dobbiamo quindi chiederci se tra tutti gli iperpiani
di $RR^{n+1}$ passanti per il punto $(X_0,f(X_0))$, cioè tra tutti gli iperpiani di
equazione $z=f(X_0)+V\cdot(X-X_0)$ al variare del vettore $V$ in $RR^n$, c'è quello migliore di tutti e come è fatto.
La condizione di essere il migliore si esprime dicendo che
$f(X)=f(X_0)+V\cdot(X-X_0)+\text{infinitesimi di ordine superiore}$ che equivale a dire che
$\lim_{X\to X_0}\frac{f(X)-f(X_0)-V\cdot(X-X_0)}{|X-X_0|} =0$
Tale condizione è appunto la differenziabilità.
Se tale condizione è verificata ALLORA $V=\nabla f(X_0)$ - il gradiente di $f$ in $X_0$ (in particolare $V$ è univocamente determinato
come pure il piano tangente). Nota che allora $(\nabla f(X_0),-1)$ individua, in $RR^{n+1}$ la direzione ortogonale al piano tangente.
In definitiva mi pare che ciò che hai scritto fosse giusto
Io direi così: nel caso di una variabile la retta tangente è la miglior approssimazione lineare (per la verità affine)
vicino al punto. Nel caso di più variabili (in partenza - in arrivo teniamoci $RR$) cosa sostituisce la retta tangente?
Beh sarà ragionevole cercare un un (iper)piano tangente. Dobbiamo quindi chiederci se tra tutti gli iperpiani
di $RR^{n+1}$ passanti per il punto $(X_0,f(X_0))$, cioè tra tutti gli iperpiani di
equazione $z=f(X_0)+V\cdot(X-X_0)$ al variare del vettore $V$ in $RR^n$, c'è quello migliore di tutti e come è fatto.
La condizione di essere il migliore si esprime dicendo che
$f(X)=f(X_0)+V\cdot(X-X_0)+\text{infinitesimi di ordine superiore}$ che equivale a dire che
$\lim_{X\to X_0}\frac{f(X)-f(X_0)-V\cdot(X-X_0)}{|X-X_0|} =0$
Tale condizione è appunto la differenziabilità.
Se tale condizione è verificata ALLORA $V=\nabla f(X_0)$ - il gradiente di $f$ in $X_0$ (in particolare $V$ è univocamente determinato
come pure il piano tangente). Nota che allora $(\nabla f(X_0),-1)$ individua, in $RR^{n+1}$ la direzione ortogonale al piano tangente.
In definitiva mi pare che ciò che hai scritto fosse giusto
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