Differenziale secondo quando l' hessiano è nullo

[DonkeyShot93]

Salve a tutti, spero mi aiutate a schiarirmi le idee. Se l' hessiano è nullo in un punto quel punto ci potrebbe essere di sella.
Il mio prof ha spiegato due metodi (senza nemmeno farcene un esempio) per risolvere l' inghippo. Uno è quello di fare il $Delta f(p0)$ e vedere se è positivo o negativo. Tuttavia non sempre è facile da usare perchè dagli esempi e dagli esercizi che ho fatto mi pare di aver capito che si verifica solo in certi casi, ovvero quando è dimostrabile che il $Deltaf(p0)$ sia negativo o positivo...ovvero in certi particolari casi...
L' altro metodo che ha spiegato è quello di studiare la concavità della quadrica con il differenziale secondo $d^2 F(p0)= (d^2f)/dx^2(p0)h^2 +2(df)/(dxdy) (p0)hk+(d^2f)/dy^2(p0)k^2$ e vederne il segno, se è positivo la concavità è rivolta verso l' alto e abbiamo un minimo, sennò un massimo, un po' come per la concavità in una sola variabile. Ma come devo trattare $h$ e $k$? so che sono gli incrementi infinitesimi lungo x e y, dovrei considerarli positivi?
Non è che qualcuno potrebbe farmi un esempio o una chiara spiegazione sul come agire

[MasterCud]

io molto semplicemente applico la definizione di max e minimo relativo, ovvero mi metto in un intorno del punto (con hessiano nullo) è verifico che all'interno di quell'intorno non ci siano altri punti interni tali che f assuma valori maggiori o minori rispetto alla f nel punto dubbio.