Differenziale "barbaro"
Caro forum,
volevo proporvi un interessante passaggio "matematico" fatto dal mio professore di termodinamica:
$ int_(l0)^(l1) mSdl $
dove m è una costante, S una superficie e l una lunghezza
Magicamente questo integrale diventa
$ int_(v0)^(v1) mdv $
dove v è il volume
dico io, non manca un diviso 3 da qualche parte?
Ho chiesto spiegazioni e mi è stato risposto:
beh il differenziale di una lunghezza su una superficie è il differenziale del volume...
Sono confuso!
volevo proporvi un interessante passaggio "matematico" fatto dal mio professore di termodinamica:
$ int_(l0)^(l1) mSdl $
dove m è una costante, S una superficie e l una lunghezza
Magicamente questo integrale diventa
$ int_(v0)^(v1) mdv $
dove v è il volume
dico io, non manca un diviso 3 da qualche parte?
Ho chiesto spiegazioni e mi è stato risposto:
beh il differenziale di una lunghezza su una superficie è il differenziale del volume...
Sono confuso!
Risposte
Più che questione di barbari, direi che c'è qualche urang utang in giro, libero di scorrazzare 
Comunque, a parte le bestie strane, non capisco perché ci vuoi un "diviso 3". Questo mi ricorda i volumi di coni e piramidi, ma non vedo che c'entrino. Immagino che il tuo prof avesse in mente un parallelepipedo, con "superficie laterale" data, e con "altezza" molto piccola ($dl$), per cui il volume del parallelepipedo è molto piccolo ($dv$). A meno che tu non ti sia dimenicato di riportare qualcosa di essenziale detto a lezione.
Volendo procedere da persone civili, il passaggio fatto si può giustificare con le formule di riduzione degli integrali tripli (per palati raffinati, il teorema di Fubini). Osservo che manca, nelle formule che hai trascritto, qualunque decente indicazione di chi siano le "variabili indipendenti" e una corretta specificazione degli "estremi di integrazione".
Comunque, a parte le bestie strane, non capisco perché ci vuoi un "diviso 3". Questo mi ricorda i volumi di coni e piramidi, ma non vedo che c'entrino. Immagino che il tuo prof avesse in mente un parallelepipedo, con "superficie laterale" data, e con "altezza" molto piccola ($dl$), per cui il volume del parallelepipedo è molto piccolo ($dv$). A meno che tu non ti sia dimenicato di riportare qualcosa di essenziale detto a lezione.
Volendo procedere da persone civili, il passaggio fatto si può giustificare con le formule di riduzione degli integrali tripli (per palati raffinati, il teorema di Fubini). Osservo che manca, nelle formule che hai trascritto, qualunque decente indicazione di chi siano le "variabili indipendenti" e una corretta specificazione degli "estremi di integrazione".
Ti ringrazio per la risposta, ma io sono un comune mortale che ha dato solo analisi 1 (con qualche cenno di integrale, solo teorema fondamentale e metodi di integrazione).
Il ragonamento che avevo in mente è questo:
$ int_(l0)^(l1) mSdl = int_(l0)^(l1) ml^2dl=m/3 * (l1^3-l0^3) $
però probabilmente sbaglio qualcosa io
[mod="Fioravante Patrone"]Fatta piccola correzione: la formula andava a capo e quindi solo metà veniva rappresentata correttamente.[/mod]
Il ragonamento che avevo in mente è questo:
$ int_(l0)^(l1) mSdl = int_(l0)^(l1) ml^2dl=m/3 * (l1^3-l0^3) $
però probabilmente sbaglio qualcosa io
[mod="Fioravante Patrone"]Fatta piccola correzione: la formula andava a capo e quindi solo metà veniva rappresentata correttamente.[/mod]
Sbagli tu, dici? Direi piuttosto che c'è di mezzo la mancata chiara specificazione delle variabili e delle funzioni usate nella formula.
Immagino che il tuo prof intendesse che $S$ è una superficie "non infinitesima", fissata. Mentre è l'altezza del parallelepipedino che è "infinitesima". Ciò rende il parallepipedino stesso "infinitesimo" e quindi usabile come un "volume" "infinitesimo". Insomma, siamo al classico "base per altezza", in cui l'altezza è "infinitesima".
Immagino che il tuo prof intendesse che $S$ è una superficie "non infinitesima", fissata. Mentre è l'altezza del parallelepipedino che è "infinitesima". Ciò rende il parallepipedino stesso "infinitesimo" e quindi usabile come un "volume" "infinitesimo". Insomma, siamo al classico "base per altezza", in cui l'altezza è "infinitesima".
quindi se ho ben capito, essendo infinitesimo il volume, ovvero l'incremento dell'altezza, e la base fissata, io la posso trattare alla stregua doi una costante?
Comunque le tue supposizioni erano corrette
ha usato il processo scimmiesco per spiegare il lavoro di un fluido
ti ringrazio ancora per l'infinita disponibilità
Comunque le tue supposizioni erano corrette
ha usato il processo scimmiesco per spiegare il lavoro di un fluido
ti ringrazio ancora per l'infinita disponibilità
"mattcryo":Esatto.
quindi se ho ben capito, essendo infinitesimo il volume, ovvero l'incremento dell'altezza, e la base fissata, io la posso trattare alla stregua di una costante?
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