Differenziale lineare non omogenea

[booster180]

ciao a tutti
mi capita spesso di dover risolvere dei problemi di cauchy dove sono proposte delle equazioni lineari non omogenee e ammetto di avere grosse difficoltà con questo determinato tipo di equazioni
propongo un esercizio:

$\{(y'=y sin(x) + sin(2x)),(y (0)= -2):}$

dal libro la formula risolutiva è:
$y(x)= e^(int f(x) dx) (int g(x) e^(-(int f(x))) dx$

con
$f(x)=sinx$
$g(x)=sin2x$

da cui risulta:
$y(x)= e^(int sinx dx) (int sin2x e^(-(int sinx)) dx$
quindi:
$y(x)= e^(-cosx ) (int sin2x e^(cosx)) dx$

poiche $sin2x=2sinx cosx$
assegno $cosx=t$ da cui $x=arccos t$
quindi $dx= d (arccos t)$ da cui $dx=( -(1)/((1-(x^2))^(1/2))$

il problema è che non capisco l errore in questo passaggio
la risoluzione corretta dell esercizio non prevede il passaggi con l arcotantente perche, essendoci sinx, io ho gia la derivata del cosx

non riesco a capire come andare avanti

sostituendo nell integrale

[Lory314]

"booster180":ciao a tutti
mi capita spesso di dover risolvere dei problemi di cauchy dove sono proposte delle equazioni lineari non omogenee e ammetto di avere grosse difficoltà con questo determinato tipo di equazioni
propongo un esercizio:

$\{(y'=y sin(x) + sin(2x)),(y (0)= -2):}$

dal libro la formula risolutiva è:
$y(x)= e^(int f(x) dx) (int g(x) e^(-(int f(x))) dx$

con
$f(x)=sinx$
$g(x)=sin2x$

da cui risulta:
$y(x)= e^(int sinx dx) (int sin2x e^(-(int sinx)) dx$
quindi:
$y(x)= e^(-cosx ) (int sin2x e^(cosx)) dx$

poiche $sin2x=2sinx cosx$

Fin qui per me è ok. Adesso però anzichè la sostituzione proverei con un'integrazione per parti in questo modo:
$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)$
ponendo $f(x) = \cos(x)$ e $g'(x) = -\sin(x)e^{\cosx}$