Differenziale in più variabili

[meck90]

Ciao a tutti, qualcuno può dimostrarmi come arrivare all'espressione del differenziale in più variabili:

$dy = (df)/(dx1)*dx1 + (df)/(dx2)*dx2 + ...(df)/(dxn)*dxn $

grazie

[robbstark1]

L'idea è che una funzione è differenziabile in un punto se è approssimabile con una funzione lineare (piano tangente). Questa funzione lineare è il differenziale.
In due dimensioni, considera un punto $(x,y)$ e un vettore incremento $(h,k)$.
Si vuole che sia:
$f(x_1+h_1, x_2+h_2) -f(x_1,x_2)= alpha*h_1 + beta*h_2 + o(||(h_1,h_2)||)$, con $(h_1,h_2)->(0,0)$
Questa formula deve essere valida anche nel caso particolare in cui fisso $h_2=0$:
$f(x_1+h_1, x_2) -f(x_1,x_2)= alpha*h_1 + o(||(h_1,0)||)$, con $h_1->0$
A questo punto dividi entrambi i membri per $h_1$ e poni il limite per $h_1->0$.
Così trovi che $alpha=(delf)/(delx_1)$.

P.s.: $dx_1 =h_1$