Differenziale esatto
Ciao a tutti
mi sono trovato davanti il seguente esercizio:
Indicare per quale valore di $b$ il seguente differenziale è esatto:
[tex]y(x) e^{3xy(x)}+x+bxe^{3xy(x)}y'=0[/tex]
ora...
se al posto di $y(x)$ avessi visto scritto $y$ non mi sarei posto nessun problema. Ho anche provato a porre $y(x)=y$, e a vedere il differenziale come
[tex]\left( e^{3xy}+x\right)\partial x+\left( bxe^{3xy} \right) \partial y=0[/tex]
ho imposto [tex]\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2} } \left( e^{3xy}+x\right)= \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2} }\left( bxe^{3xy} \right)[/tex]
e mi viene che è esatto per $b=1$
ma avendo $y(x)$ in quanto (cito testualmente prendendo da http://www.dti.unimi.it/cariboni/MC/09_Forme_diff.pdf)
Si chiama forma differenziale (o 1-forma) la quantità $omega$
$omega (x,y, dx, dy) = A(x,y) dx + B(x,y)dy$
dove $omega$ è una funzione delle variabili indipendenti: $x$ e $y$ e dei rispettivi differenziali: $dx$ e $dy$ (che vanno pensate come variabili indipendenti);
ma nel mio caso $y(x)$ non è di certo una variabile "indipendente" dato che dipende da $x$
come posso quindi determinare se è un differenziale esatto?
grazie mille a tutti
mi sono trovato davanti il seguente esercizio:
Indicare per quale valore di $b$ il seguente differenziale è esatto:
[tex]y(x) e^{3xy(x)}+x+bxe^{3xy(x)}y'=0[/tex]
ora...
se al posto di $y(x)$ avessi visto scritto $y$ non mi sarei posto nessun problema. Ho anche provato a porre $y(x)=y$, e a vedere il differenziale come
[tex]\left( e^{3xy}+x\right)\partial x+\left( bxe^{3xy} \right) \partial y=0[/tex]
ho imposto [tex]\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2} } \left( e^{3xy}+x\right)= \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2} }\left( bxe^{3xy} \right)[/tex]
e mi viene che è esatto per $b=1$
ma avendo $y(x)$ in quanto (cito testualmente prendendo da http://www.dti.unimi.it/cariboni/MC/09_Forme_diff.pdf)
Si chiama forma differenziale (o 1-forma) la quantità $omega$
$omega (x,y, dx, dy) = A(x,y) dx + B(x,y)dy$
dove $omega$ è una funzione delle variabili indipendenti: $x$ e $y$ e dei rispettivi differenziali: $dx$ e $dy$ (che vanno pensate come variabili indipendenti);
ma nel mio caso $y(x)$ non è di certo una variabile "indipendente" dato che dipende da $x$
come posso quindi determinare se è un differenziale esatto?
grazie mille a tutti
Risposte
Stai facendo un sacco di confusione! Tu parti da una equazione differenziale del primo ordine che, utilizzando l'espressione $y'={dy}/{dx}$ si riconduce a
$(y e^{3xy}+x)dx+(bx e^{3xy})dy=0$
Nota che hai commesso 2 errori madornali:
1) di distrazione: hai sbagliato a scrivere per bene la forma (manca una $y$ nel primo termine)
2) concettuale: se hai la forma $P\ dx+Q\ dy$ per verificarne l'esattezza, devi verificarne la chiusura, e quindi la condizione ${\partial P}/{\partial y}={\partial Q}/{\partial x}$. Cosa sono quelle derivate seconde????
$(y e^{3xy}+x)dx+(bx e^{3xy})dy=0$
Nota che hai commesso 2 errori madornali:
1) di distrazione: hai sbagliato a scrivere per bene la forma (manca una $y$ nel primo termine)
2) concettuale: se hai la forma $P\ dx+Q\ dy$ per verificarne l'esattezza, devi verificarne la chiusura, e quindi la condizione ${\partial P}/{\partial y}={\partial Q}/{\partial x}$. Cosa sono quelle derivate seconde????
ciao
in effetti le derivate seconde nascono da un mio fraintendimento del testo che stavo leggendo sull'argomento, ho poi ricontrollato e ho visto che sono derivate prime.
Per quanto riguarda l'errore nella formula sinceramente non lo vedo. Ho controllato ancora la formula dell'esercizio ed è esattamente come l'ho riportata qui.
in qualsiasi caso tutto ciò non mi risolve il dubbio. Il testo mi riporta tutte le $y$ come delle $y(x)$ e non come variabili indipendenti.
da cosa dipende?
in effetti le derivate seconde nascono da un mio fraintendimento del testo che stavo leggendo sull'argomento, ho poi ricontrollato e ho visto che sono derivate prime.
Per quanto riguarda l'errore nella formula sinceramente non lo vedo. Ho controllato ancora la formula dell'esercizio ed è esattamente come l'ho riportata qui.
in qualsiasi caso tutto ciò non mi risolve il dubbio. Il testo mi riporta tutte le $y$ come delle $y(x)$ e non come variabili indipendenti.
da cosa dipende?
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