Differenziale esatto
Vorrei sapere se sono arrivato ad una giusta interpretazione del teorema di Gauss-Green.
Il teorema ci dice principalmente che se ho un dominio stellato ed una forma differenziale chiusa, chiamiamola $omega$, allora l' integrale di $omega$ lungo un qualunque percorso chiuso, chiamiamolo $gamma$ (tutto contenuto nel dominio $A$ con $gamma : [a,b] -> AsubeR^2$) , è zero.
diciamo prima di tutto:
$(dU(X))/(dX)=omega=sum_(i=1)^nomega_i$ ove $omega_i=(partialU)/(partialx_i)$ e $U : X inA sube R^n -> R$ (con A indico il dominio stellato).
prendendo come ipotesi che omega è chiuso e $omegainC^1$, dunque $UinC^2$ (continuità fino alla derivata seconda), ed A stellato allora per il teorema di Shwartz sarà anche vero che le derivate parziali miste si possono eguagliare ovvero che: $(partial^2U_j)/(partialx_i)=(partial^2U_i)/(partialx_j) (j=1,..,n , i=1_n)$. Data questa uguaglianza si può dimostrare che per un percorso chiuso si ha che : $int_gamma omega=int_A sum_(i,j=1)^n [(partialomega_i)/(partialx_j)-(partialomega_j)/(partialx_i)]dX=0$ e cioè l' integrale lungo un percorso chiuso gamma è uguale all' integrale sul dominio A delle somme delle derivate parziali miste.
Qualcuno può confermare? Grazie
Il teorema ci dice principalmente che se ho un dominio stellato ed una forma differenziale chiusa, chiamiamola $omega$, allora l' integrale di $omega$ lungo un qualunque percorso chiuso, chiamiamolo $gamma$ (tutto contenuto nel dominio $A$ con $gamma : [a,b] -> AsubeR^2$) , è zero.
diciamo prima di tutto:
$(dU(X))/(dX)=omega=sum_(i=1)^nomega_i$ ove $omega_i=(partialU)/(partialx_i)$ e $U : X inA sube R^n -> R$ (con A indico il dominio stellato).
prendendo come ipotesi che omega è chiuso e $omegainC^1$, dunque $UinC^2$ (continuità fino alla derivata seconda), ed A stellato allora per il teorema di Shwartz sarà anche vero che le derivate parziali miste si possono eguagliare ovvero che: $(partial^2U_j)/(partialx_i)=(partial^2U_i)/(partialx_j) (j=1,..,n , i=1_n)$. Data questa uguaglianza si può dimostrare che per un percorso chiuso si ha che : $int_gamma omega=int_A sum_(i,j=1)^n [(partialomega_i)/(partialx_j)-(partialomega_j)/(partialx_i)]dX=0$ e cioè l' integrale lungo un percorso chiuso gamma è uguale all' integrale sul dominio A delle somme delle derivate parziali miste.
Qualcuno può confermare? Grazie
Risposte
"Sciarra":
Vorrei sapere se sono arrivato ad una giusta interpretazione del teorema di Gauss-Green.
Il teorema ci dice principalmente che se ho un dominio stellato ed una forma differenziale chiusa, chiamiamola $omega$, allora l' integrale di $omega$ lungo un qualunque percorso chiuso, chiamiamolo $gamma$ (tutto contenuto nel dominio $A$ con $gamma : [a,b] -> AsubeR^2$) , è zero.
diciamo prima di tutto:
$(dU(X))/(dX)=omega=sum_(i=1)^nomega_i$ ove $omega_i=(partialU)/(partialx_i)$ e $U : X inA sube R^n -> R$ (con A indico il dominio stellato).
prendendo come ipotesi che omega è chiuso e $omegainC^1$, dunque $UinC^2$ (continuità fino alla derivata seconda),
C'e' un po' di logica che non va, diciamo che se $U$ è almeno $C^2$ allora $\omega$ viene chiusa; per altro $\omega$ non si scrive come $sum_(i=1)^nomega_i$ bensi' come $sum_(i=1)^nomega_idx^i$.
"Sciarra":
ed A stellato allora per il teorema di Shwartz sarà anche vero che le derivate parziali miste si possono eguagliare ovvero che: $(partial^2U_j)/(partialx_i)=(partial^2U_i)/(partialx_j) (j=1,..,n , i=1_n)$.
Non ho capito cosa sono $U_i$? Il campo $U$ è scalare...
grazie per la correzione, comunque $U_i$ rappresentano le derivate parziali seconde della funzione $U(X)$. Più precisamente se $P$ è la matrice delle derivate parziali seconde di $U(X)$ allora$(partial^2U_(i,j))/(partial(x_j)partialx_i)$ con $i\nej$, cioè la componente j-esima del vettore i-esimo che rappresenta la derivata seconda della funzione scalare $U(X)$ rispetto alla variabile $x_j$ è uguale alla derivata seconda della componente i-esima del vettore j-esimo rispetto alla variabile $x_i$: $(partialU_(j,i))/(partialx_i partialx_j$, il che rende la matrice Hessiana simmetrica.
Non capisco la necessità di mettere $i,j$ come pedice a $U$, $U$ è un campo scalare, la notazione $\frac{\partial^2 U}{\partial x_i\partial x_j}$ vuol già dire che derivi rispetto a $x_i,x_j$.
è semplicemente per far capire che se il gradiente di un campo è un vettore allora la derivata di quest' ultimo è una matrice, ma non è una necessità, piuttosto una precisazione.
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