Differenziale ed infinitesimi
Buongiorno,
sono uno studente di ingegneria meccanica del primo anno della specialistica.
Nonostante vada decisamente bene all' università potrete immaginare che, essendo un ingegnere, sia abituato ad una matematica "da battaglia" senza un buon rigore formale e che, per questo motivo, abbia in alcuni casi dei dubbi al riguardo.
Tra gli ingegneri si usa sempre, probabilmente in modo improprio e non attualmente corretto, il concetto di infinitesimo.
Spiego il mio dubbio; siano:
$y=y(x)$ una generica funzione derivabile;
$y'(x)$ = la sua derivata in x;
$dy$ = la funzione differenziale della y ossia $dy$ = $y'(x)$ Δ$x$ = $y'(x)$ $dx$
$dx$ = la funzione differenziale della x ossia $dx$ = Δ$x$
potrei linearizzare la derivata scrivendola come rapporto di due differenziali:
$y'(x)$ = $lim_(h->0)(y(x+h)-y(x))/h$ = $ dy/dx $ = $(y'(x) Δx) / (Δx)$
se ora faccio tendere i differenziali con un limite a zero:
$dy0$=differenziale della y valutato al limite $Δx$ $\rightarrow 0$
$dx0$=differenziale della x valutato al limite $\rightarrow 0$
posso scrivere la derivata come rapporto dei due differenziali valutati al limite
$y'(x)$ = $lim_(h->0)(y(x+h)-y(x))/h$ = $(dy0) / (dx0) $
Tutto questo è corretto?Se lo è allora mi chiedo:
sono uno studente di ingegneria meccanica del primo anno della specialistica.
Nonostante vada decisamente bene all' università potrete immaginare che, essendo un ingegnere, sia abituato ad una matematica "da battaglia" senza un buon rigore formale e che, per questo motivo, abbia in alcuni casi dei dubbi al riguardo.
Tra gli ingegneri si usa sempre, probabilmente in modo improprio e non attualmente corretto, il concetto di infinitesimo.
Spiego il mio dubbio; siano:
$y=y(x)$ una generica funzione derivabile;
$y'(x)$ = la sua derivata in x;
$dy$ = la funzione differenziale della y ossia $dy$ = $y'(x)$ Δ$x$ = $y'(x)$ $dx$
$dx$ = la funzione differenziale della x ossia $dx$ = Δ$x$
potrei linearizzare la derivata scrivendola come rapporto di due differenziali:
$y'(x)$ = $lim_(h->0)(y(x+h)-y(x))/h$ = $ dy/dx $ = $(y'(x) Δx) / (Δx)$
se ora faccio tendere i differenziali con un limite a zero:
$dy0$=differenziale della y valutato al limite $Δx$ $\rightarrow 0$
$dx0$=differenziale della x valutato al limite $\rightarrow 0$
posso scrivere la derivata come rapporto dei due differenziali valutati al limite
$y'(x)$ = $lim_(h->0)(y(x+h)-y(x))/h$ = $(dy0) / (dx0) $
Tutto questo è corretto?Se lo è allora mi chiedo:
Risposte
prendo un cubo di fluido di lati $Δx$,$Δy$,$Δz$ e faccio tendere a zero tali variazioni mediante il limite del loro differenziale:
$dx0$ = $lim_(Δx->0)(Δx)$;
$dy0$ = $lim_(Δy->0)(Δy)$;
$dz0$= $lim_(Δz->0)(Δz)$.
sia p la funzione pressione definita nello spazio, se nel centro del cubo la pressione è p ho che la pressione sulle facce del cubo la posso approssimare ad una serie di Taylor del valore nel centro per cui ad esempio può diventare su due facce omologhe:
$p$ - $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$
$p$ + $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$
se ora moltiplico la pressione per l'area su cui insiste si ha:
($p$ - $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$)$dx0$$dz0$
($p$ + $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$)$dx0$$dz0$
mi chiedo se io la derivata parziale della pressione in y la posso ritenere pari al differenziale parziale della p rispetto ad y divisa per il differenziale della y valutato al limite perchè non posso semplificare $dely$ con $dy0$?.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nell'esporre il mio dubbio; ringrazio chiunque voglia partecipare perchè è un qualcosa che da tempo non riesco a capire e nessuno è riuscito a togliermi questo dubbio,ciao a tutti e buona giornata
$dx0$ = $lim_(Δx->0)(Δx)$;
$dy0$ = $lim_(Δy->0)(Δy)$;
$dz0$= $lim_(Δz->0)(Δz)$.
sia p la funzione pressione definita nello spazio, se nel centro del cubo la pressione è p ho che la pressione sulle facce del cubo la posso approssimare ad una serie di Taylor del valore nel centro per cui ad esempio può diventare su due facce omologhe:
$p$ - $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$
$p$ + $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$
se ora moltiplico la pressione per l'area su cui insiste si ha:
($p$ - $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$)$dx0$$dz0$
($p$ + $(delp)/(dely)$ $(dy0)/2$)$dx0$$dz0$
mi chiedo se io la derivata parziale della pressione in y la posso ritenere pari al differenziale parziale della p rispetto ad y divisa per il differenziale della y valutato al limite perchè non posso semplificare $dely$ con $dy0$?.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nell'esporre il mio dubbio; ringrazio chiunque voglia partecipare perchè è un qualcosa che da tempo non riesco a capire e nessuno è riuscito a togliermi questo dubbio,ciao a tutti e buona giornata
mi chiedo: forse il punto focale è che un limite di un rapporto (limite del rapporto incrementale) non è uguale al rapporto fra due limiti (rapporto fra i due differenziali valutati al limite)?
Cioè: è possibile che l'errore di base sia nel fatto che spesso ad ingegneria si considera la derivata come una sorta di quoziente fra due differenziali valutati al limite invece che un unico oggetto (ossia un limite)?
In definitiva credo che per poter separare davvero una derivata in un rapporto fra differenziali valutati al limite dovrei ricorrere all'analisi non standard e le cose mi si complicherebbero non poco immagino...spero proprio che qualcuno posso aver seguito il filo (giusto o sbagliato che sia) dei miei ragionamenti e possa darmi un suo parere critico.Grazie,ciao.
[OT]
Ma perchè gli ingegneri meccanici sono ossessionati dai differenziali?
[/OT]
Quelle che usate sono solo manipolazioni formali.
Per giustificarle in maniera sensata servirebbe conoscere un bel po' di teoria, che imparerai nei prossimi anni (Dio e piano di studi permettendo).
Quindi, per ora, sospendi il giudizio ed impara ad usare questi trucchetti al meglio.
Buono studio.
Ma perchè gli ingegneri meccanici sono ossessionati dai differenziali?
[/OT]
Quelle che usate sono solo manipolazioni formali.
Per giustificarle in maniera sensata servirebbe conoscere un bel po' di teoria, che imparerai nei prossimi anni (Dio e piano di studi permettendo).
Quindi, per ora, sospendi il giudizio ed impara ad usare questi trucchetti al meglio.
Buono studio.
Ciao gugo, ti ringrazio moltissimo per la risposta!!In realtà proprio questa mattina credo di aver capito gran parte dei dubbi che avevo in merito ad infinitesimi/differenziali/derivata etc..grazie allo studio delle critiche al metodo urang utang ed ad un rapido squardo dell'analisi non standard e le critiche di Berkeley.
In realtà noi ingegneri, ma anche i fisici, abbiamo assoluto bisogno di discretizzare la realtà che ci circonda, in questo senso quando ci si trova a dover applicare ed interpretare fisicamente gli oggetti matematici fa molto più comodo una visione alla leibnitz piuttosto che fluenti e flussioni di newton etc...è per questo che noi riportiamo tutto ad infinitesimi, che poi nel nostro linguaggio infinitesimo significa sempre differenziale valutato al limite...comunque ora mi è chiara l'inesattezza di questi ragionamenti che non devono essere tradotti in linguaggio matematico...ritengo comunque che per una comprensione fisica/applicativa degli oggetti matematici siano molto utili: l' unica accortezza sta nel non tramutare questi concetti sbagliati ma in un qualche modo fisicamente esplicativi di concetti matematici in applicazioni matematiche vere e proprie.
In realtà noi ingegneri, ma anche i fisici, abbiamo assoluto bisogno di discretizzare la realtà che ci circonda, in questo senso quando ci si trova a dover applicare ed interpretare fisicamente gli oggetti matematici fa molto più comodo una visione alla leibnitz piuttosto che fluenti e flussioni di newton etc...è per questo che noi riportiamo tutto ad infinitesimi, che poi nel nostro linguaggio infinitesimo significa sempre differenziale valutato al limite...comunque ora mi è chiara l'inesattezza di questi ragionamenti che non devono essere tradotti in linguaggio matematico...ritengo comunque che per una comprensione fisica/applicativa degli oggetti matematici siano molto utili: l' unica accortezza sta nel non tramutare questi concetti sbagliati ma in un qualche modo fisicamente esplicativi di concetti matematici in applicazioni matematiche vere e proprie.
"gugo82":
[OT]
Ma perchè gli ingegneri meccanici sono ossessionati dai differenziali?
[/OT]
[OT]Sempre la stessa battuta fai, maestro
[/OT]
@ Plepp: Credo sia il terzo in meno di due anni... Tu che diresti? 
@ingegneria italiana: Per cortesia, la prossima volta utilizza il pulsantino "Modifica" quando vuoi aggiungere qualche informazione ai post precedenti; è molto meglio che appiccicare un post dietro l'altro. Grazie.
"gugo82":
@ Plepp: Credo sia il terzo in meno di due anni... Tu che diresti?
Direi che libri di analisi, fisica e professori di ingegneria fanno un gran casino e confusione...
[OT]
Direi che libri di analisi, fisica e professori di ingegneria fanno un gran casino e confusione...[/quote]
Sì, sì, lisdap... Abbiamo capito.
Ma se ti fa così schifo, perchè rimani all'università?
[/OT]
"lisdap":
[quote="gugo82"]@ Plepp: Credo sia il terzo in meno di due anni... Tu che diresti?
Direi che libri di analisi, fisica e professori di ingegneria fanno un gran casino e confusione...[/quote]
Sì, sì, lisdap... Abbiamo capito.
Ma se ti fa così schifo, perchè rimani all'università?
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Senza pezzo di carta non vali nulla, anche se sei preparato.
"gugo82":
@ Plepp: Credo sia il terzo in meno di due anni... Tu che diresti?
[OT]Indubbiamente hai ragione
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"Seneca":
@ingegneria italiana: Per cortesia, la prossima volta utilizza il pulsantino "Modifica" quando vuoi aggiungere qualche informazione ai post precedenti; è molto meglio che appiccicare un post dietro l'altro. Grazie.
Ciao.
Hai ragione, me ne ricorderò per la prossima volta, grazie.
"lisdap":
Direi che libri di analisi, fisica e professori di ingegneria fanno un gran casino e confusione...
Ciao, sono d'accordo che ci sia una grossa confusione ad ingegneria su alcuni concetti ed oggetti matematici.
Il problema non credo sia imputabile (almeno solamente) agli studenti di ingegneria: cioè, lasciamo stare gli studenti che magari non hanno voglia di fare o che non si rendono conto di aver sbagliato facoltà, vi posso garantire che anche i migliori studenti di ingegneria hanno notevole confusione sui concetti di infinitesimo, volumetto infinitesimo di materiale, areola infinitesima, tratto infinitesimo di linea etc...a mio avviso manca completamente una figura realmente capace di far comprendere come il formalismo matematico rigoroso e corretto possa essere "rovinato" per assumere interpretazioni "ingegneristiche o fisiche"...se fossi io ci farei proprio una materia a se stante almeno da 30 ore...anzi vi dico di più:chi di voi fosse realmente capace di scrivere un volume realmente divulgativo su come la matematica sia storpiata nei concetti ingegneristici e fisici farebbe davvero i soldi perchè credo che qualsiasi studente di ingegneria o fisica lo comprerebbe...però tutti i matematici veri che ho conosciuto fino ad ora non sono riusciti ancora a farmi capire bene come tradurre in linguaggio matematico i concetti intuitivi che noi ingegneri diamo a certe oggetti matematici.Ciao a tutti, buona serata.
"gugo82":
Quelle che usate sono solo manipolazioni formali.
Per giustificarle in maniera sensata servirebbe conoscere un bel po' di teoria, che imparerai nei prossimi anni (Dio e piano di studi permettendo).
Che tipo di teoria bisogna conoscere? Sul libro di fisica si leggono spesso frasi come queste: "sia $dV$ un volumetto infinitesimo". Da quello che ho capito dopo mesi e mesi di riflessioni e consultazioni di testi, al posto di $dV$ ci posso mettere un numero piccolo rispetto al volume del corpo considerato. Ad esempio, se considero una montagna, un $dV$ potrebbe essere $30 m^3$, se considero un foglio A4 un $dS$ potrebbe essere dato da $1cm^2$. Lo so che quello che ho scritto significa tutto e niente, però più di questo non riesco a fare. ho cercato di capire se esistesse un collegamento tra i dS, i dV ecc...che compaiono in Fisica e il concetto di differenziale in Analisi, e ho concluso che questo collegamento non c'è. Tuttavia, se è vero che questo collegamento non c''è, mi sono chiesto: perché si usa la lettera d??? E non riesco a dare una risposta. Va bene lo stesso se dico: "sia £ un elemento di volume infinitesimo"? Sempre se ho capito bene, ragionamenti di questo tipo, cioé che procedono considerando porzioni molto piccole di un certo ente, servono per arrivare a scrivere delle equazioni REALMENTE VALIDE grazie all'utilizzo del calcolo integrale e differenziale. Sarebbe interessante avere una tua risposta in merito! Ciao!
Se mi fai capire ti faccio un bonificoXD
uppppp
uppp
Prova a ragionare su questo esempio.
Si consideri una barra rettilinea di lunghezza \( L \) che ha densità lineare di carica \( \lambda : x \mapsto \lambda(x) \). Si fissi un sistema di riferimento cartesiano con origine coincidente con l'estremo sinistro della barra e asse delle ascisse tale da contenere l'intera barra, cosicché si abbia \( x \in [0, L] = D_{\lambda} \).
Determinare la carica totale presente sulla barra.
Lo scopo dell'esempio è rendersi conto che la richiesta non è altro che
\[ q = \int_0^L \lambda(x)\, {\rm d}x \]
senza tirare in ballo i cosiddetti "elementi infinitesimi".
L'idea è semplice: la funzione \( \lambda \) associa ad ogni \( x \in D_{\lambda} \) un valore che corrisponde alla carica nel punto considerato. Puoi quindi tracciare in un grafico l'andamento della carica elettrica in funzione della coordinata \( x \) e questo equivale a tracciare il grafico di \( \lambda \).
Se \( \lambda \) fosse costante a tratti, per ottenere la carica nel singolo tratto moltiplichi la densità di carica per la lunghezza del tratto di interesse e poi fai la somma per tutti i tratti.
Cosa succede se, come in questo caso, la densità di carica non è costante a tratti? Beh, si può procedere per approssimazione utilizzando i concetti di somma superiore e somma inferiore.
Come vedi, il giochetto sta proprio nell'osservare che la carica totale è l'integrale di una funzione opportuna, cioè la densità di carica (e questo lo vedi ragionando nel caso \( \lambda \) costante a tratti).
Più precisamente (prendendo ad esempio il caso di somme inferiori) stiamo parlando di somme del tipo
\[ s(\sigma, \lambda) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \inf_{(x_{i-1}, x_i)} \lambda(x) \]
dove \( \sigma = \lbrace x_1, \dots, x_n \rbrace \) è una suddivisione di \( [0, L] \).
Il significato di queste somme inferiori è quello di approssimare per difetto (l'approssimazione per eccesso la ottieni utilizzando le somme superiori) il vero valore di carica prendendo in ciascun intervallino \( (x_{i-1}, x_i) \) l'estremo inferiore dei valori di \( \lambda \). Fisicamente, dunque, la somma inferiore è l'approssimazione per difetto della carica presente nella barra.
Una volta capito che la carica complessiva è dunque un integrale, puoi concludere che effettivamente si ha
\[ q = \int_0^L \lambda(x)\, {\rm d}x \]
La tecnica che ho usato, naturalmente, viene spontanea una volta che è interiorizzata e ciò ti consente di scrivere di botto l'integrale senza dei ragionamenti preliminari. Inoltre è perfettamente estendibile ai casi in più variabili (ad esempio se la densità di carica fosse superficiale o volumetrica).
Si consideri una barra rettilinea di lunghezza \( L \) che ha densità lineare di carica \( \lambda : x \mapsto \lambda(x) \). Si fissi un sistema di riferimento cartesiano con origine coincidente con l'estremo sinistro della barra e asse delle ascisse tale da contenere l'intera barra, cosicché si abbia \( x \in [0, L] = D_{\lambda} \).
Determinare la carica totale presente sulla barra.
Lo scopo dell'esempio è rendersi conto che la richiesta non è altro che
\[ q = \int_0^L \lambda(x)\, {\rm d}x \]
senza tirare in ballo i cosiddetti "elementi infinitesimi".
L'idea è semplice: la funzione \( \lambda \) associa ad ogni \( x \in D_{\lambda} \) un valore che corrisponde alla carica nel punto considerato. Puoi quindi tracciare in un grafico l'andamento della carica elettrica in funzione della coordinata \( x \) e questo equivale a tracciare il grafico di \( \lambda \).
Se \( \lambda \) fosse costante a tratti, per ottenere la carica nel singolo tratto moltiplichi la densità di carica per la lunghezza del tratto di interesse e poi fai la somma per tutti i tratti.
Cosa succede se, come in questo caso, la densità di carica non è costante a tratti? Beh, si può procedere per approssimazione utilizzando i concetti di somma superiore e somma inferiore.
Come vedi, il giochetto sta proprio nell'osservare che la carica totale è l'integrale di una funzione opportuna, cioè la densità di carica (e questo lo vedi ragionando nel caso \( \lambda \) costante a tratti).
Più precisamente (prendendo ad esempio il caso di somme inferiori) stiamo parlando di somme del tipo
\[ s(\sigma, \lambda) = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \inf_{(x_{i-1}, x_i)} \lambda(x) \]
dove \( \sigma = \lbrace x_1, \dots, x_n \rbrace \) è una suddivisione di \( [0, L] \).
Il significato di queste somme inferiori è quello di approssimare per difetto (l'approssimazione per eccesso la ottieni utilizzando le somme superiori) il vero valore di carica prendendo in ciascun intervallino \( (x_{i-1}, x_i) \) l'estremo inferiore dei valori di \( \lambda \). Fisicamente, dunque, la somma inferiore è l'approssimazione per difetto della carica presente nella barra.
Una volta capito che la carica complessiva è dunque un integrale, puoi concludere che effettivamente si ha
\[ q = \int_0^L \lambda(x)\, {\rm d}x \]
La tecnica che ho usato, naturalmente, viene spontanea una volta che è interiorizzata e ciò ti consente di scrivere di botto l'integrale senza dei ragionamenti preliminari. Inoltre è perfettamente estendibile ai casi in più variabili (ad esempio se la densità di carica fosse superficiale o volumetrica).
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