Differenziale e punti estremi
Buona sera a tutti.
Consideriamo:
un punto $p(x_0,y_0).$
una funzione a due variabili: $ f:R^2 \rightarrow R. $
A questo punto, supponiamo che l'Hessiano nel punto p sia definito positivo.
Mi chiedevo:
Se il differenziale della funzione f è nullo nel punto p, allora si può dire che p è un punto di minimo locale?
Partendo dal presupposto che esista un punto di minimo(massimo), lo si cerca in:
1. punti interni stazionari in cui il gradiente è nullo;
2. punti interni singolari in cui il gradiente non esiste;
3. punti di frontiera(sul bordo).
Sappiamo che se l'Hessiano in un punto $p(x_0,y_0)$ è definito positivo, allora il punto $p$ è un punto di minimo.
Ma il fatto che il differenziale sia nullo, non ci dice che il gradiente sia uguale a 0, ossia che:
\begin{cases} f_x (x_0,y_0) = 0 \\ f_y(x_0,y_0) = 0\end{cases}
Quindi, non abbiamo informazioni relativamente al fatto che p sia effettivamente un punto stazionario.
Inoltre il fatto che il differenziale sia nullo, ci dice comunque che le due derivate parziali esistono. Quindi non possiamo dire che il gradiente in quel punto, non esista e dunque che p sia un punto singolare.
Dunque il fatto che il differenziale nel punto p sia nullo, che informazioni ci dà relativamente all'esistenza o meno di un punto di minimo?
O sto sbagliando io, e il fatto che il differenziale sia nullo, implica automaticamente che le due derivate parziali siano nulle, e quindi sappiamo che ci troviamo in un punto stazionario?
Grazie a chi cercherà di aiutarmi. Buona serata.
Consideriamo:
un punto $p(x_0,y_0).$
una funzione a due variabili: $ f:R^2 \rightarrow R. $
A questo punto, supponiamo che l'Hessiano nel punto p sia definito positivo.
Mi chiedevo:
Se il differenziale della funzione f è nullo nel punto p, allora si può dire che p è un punto di minimo locale?
Partendo dal presupposto che esista un punto di minimo(massimo), lo si cerca in:
1. punti interni stazionari in cui il gradiente è nullo;
2. punti interni singolari in cui il gradiente non esiste;
3. punti di frontiera(sul bordo).
Sappiamo che se l'Hessiano in un punto $p(x_0,y_0)$ è definito positivo, allora il punto $p$ è un punto di minimo.
Ma il fatto che il differenziale sia nullo, non ci dice che il gradiente sia uguale a 0, ossia che:
\begin{cases} f_x (x_0,y_0) = 0 \\ f_y(x_0,y_0) = 0\end{cases}
Quindi, non abbiamo informazioni relativamente al fatto che p sia effettivamente un punto stazionario.
Inoltre il fatto che il differenziale sia nullo, ci dice comunque che le due derivate parziali esistono. Quindi non possiamo dire che il gradiente in quel punto, non esista e dunque che p sia un punto singolare.
Dunque il fatto che il differenziale nel punto p sia nullo, che informazioni ci dà relativamente all'esistenza o meno di un punto di minimo?
O sto sbagliando io, e il fatto che il differenziale sia nullo, implica automaticamente che le due derivate parziali siano nulle, e quindi sappiamo che ci troviamo in un punto stazionario?
Grazie a chi cercherà di aiutarmi. Buona serata.
Risposte
Infatti sbagli tu. Se una funzione è differenziabile, il suo differenziale si annulla in un punto se e solo se le derivate parziali fanno altrettanto.
Ciao dissonance.
Grazie per la celere risposta. Dunque, questo significa, che la definizione:
è valida(supponendo che l'Hessiana sia definita positiva in quel punto).
Quindi significa che siamo in presenza di un punto stazionario e dato che l'Hessiana è definita positiva, allora $p(x_0,y_0)$ rappresenta un punto di minimo.
Grazie per la celere risposta. Dunque, questo significa, che la definizione:
"paolodocet":
Se il differenziale della funzione f è nullo nel punto p, allora si può dire che p è un punto di minimo locale
è valida(supponendo che l'Hessiana sia definita positiva in quel punto).
"dissonance":
Se una funzione è differenziabile, il suo differenziale si annulla in un punto se e solo se le derivate parziali fanno altrettanto.
Quindi significa che siamo in presenza di un punto stazionario e dato che l'Hessiana è definita positiva, allora $p(x_0,y_0)$ rappresenta un punto di minimo.
La prima non è una definizione, e neanche un teorema, è un errore. La versione corretta è:
se il differenziale di \(f\) è nullo in \(p\), si dice che \(p\) è un punto critico (o punto stazionario) per \(f\).
Questa è una definizione.
Invece il fatto che un punto stazionario in cui l'Hessiana è definita positiva è un punto di minimo locale è vero, ed è un teorema.
se il differenziale di \(f\) è nullo in \(p\), si dice che \(p\) è un punto critico (o punto stazionario) per \(f\).
Questa è una definizione.
Invece il fatto che un punto stazionario in cui l'Hessiana è definita positiva è un punto di minimo locale è vero, ed è un teorema.
Scusa la poca precisione dissonance.
In ogni caso, è vero dire che:
Consideriamo un punto $p(x_0,y_0)$ e una funzione $f: R^2 \rightarrow R.$
Allora:
Dunque considerando il differenziale nullo in p, allora sappiamo che p è un punto stazionario, per la definizione precedente.
Sapendo che l'Hessiana è definita positiva, sappiamo per il teorema che:
Quindi concludendo:
se il differenziale è nullo in p (per i potesi), l'Hessiana è definita positiva in p(per ipotesi) allora il punto p è un punto di minimo locale. Giusto?
Grazie per la pazienza e la disponibilità. Buona giornata.
In ogni caso, è vero dire che:
Consideriamo un punto $p(x_0,y_0)$ e una funzione $f: R^2 \rightarrow R.$
Allora:
"dissonance":
se il differenziale di \( f \) è nullo in \( p \), si dice che \( p \) è un punto critico (o punto stazionario) per \( f \).
Dunque considerando il differenziale nullo in p, allora sappiamo che p è un punto stazionario, per la definizione precedente.
Sapendo che l'Hessiana è definita positiva, sappiamo per il teorema che:
"dissonance":
un punto stazionario in cui l'Hessiana è definita positiva è un punto di minimo locale
Quindi concludendo:
se il differenziale è nullo in p (per i potesi), l'Hessiana è definita positiva in p(per ipotesi) allora il punto p è un punto di minimo locale. Giusto?
Grazie per la pazienza e la disponibilità. Buona giornata.
Si, mi sembra che stiamo dicendo sempre le stesse cose però 
Era per essere tranquillo. Ti ringrazio.
Un'altra domanda. Il fatto che mi venga detto che l'Hessiano in un punto è definito positivo, non implica automaticamente che il punto sia stazionario, vero? E' necessario avere delle informazioni specifiche sul fatto che il punto sia critico affinchè possa usare il teorema che hai enunciato nei post precedenti.
Grazie ancora per la pazienza.
Un'altra domanda. Il fatto che mi venga detto che l'Hessiano in un punto è definito positivo, non implica automaticamente che il punto sia stazionario, vero? E' necessario avere delle informazioni specifiche sul fatto che il punto sia critico affinchè possa usare il teorema che hai enunciato nei post precedenti.
Grazie ancora per la pazienza.
Avere una matrice Hessiana definita positiva è la stessa cosa che avere una funzione di una sola variabile con la derivata seconda positiva. Geometricamente suggerisce che la funzione ha un andamento convesso, simile all'andamento della funzione \(f(x)=x^2\). (Il teorema preciso è il seguente: una funzione \(f\colon \Omega\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) due volte differenziabile e tale che la sua matrice Hessiana è definita positiva in tutto l'aperto convesso \(\Omega\) è convessa in \(\Omega\).) Immaginando la funzione \(x^2\) appare chiaro che un punto stazionario di una funzione con andamento convesso ha un minimo. Chiaramente questo accade *solo* nel punto stazionario.
Bene, quindi comunque è condizione NECESSARIA, la nozione di punto stazionario affinchè io possa usare il teorema.
Grazie dell'aiuto e buona giornata.
Grazie dell'aiuto e buona giornata.
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