Differenziale e forme differenziali [modificato]
Sono alle prese con un vecchio esame : Analisi II di ingegneria V.O. e chi ci è passato, soprattutto in anni poco sospetti, sà di cosa parlo....
Mi trovo davanti a un dubbio: nello studio del differenziale di una funzione f:A-->R (con a aperto di Rn) si detto che il differenziale df è un' applicazione lineare o meglio un funzionale lineare (perchè definito in Rn a valori in R)che vale df(x)=Somma(fxi dxi) i=1,....,n e dove fxi sono le derivare parziali nelle direzioni x1, x2,....xn.
Successivamente nello studio delle forme differenziali, sui sacri testi si asserisce che il differenziale è una particolare FORMA DIFFERENZIALE (Cioè se w=df tale forma differenziale è una forma diffferenziale esatta). Fin qui tutto ok.
Sapendo però che una FORMA DIFFERENZIALE è un'applicazione w:A-->(Rn)* (con A aperto di Rn e (Rn)*suo duale) mi chiedo come fà il DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE df ad essere sia un'applicazione lineare df: A-->R e contemporaneamente un'applicazione df:A-->(Rn)* (con a aperto di Rn e (Rn)*suo duale) ??? Non mi spiego quasta cosa o sono io che faccio confusione in qualche punto...
Se qualcuno può aiutarmi lo ringrazio anticipatamente... e può anche scrivermi al mio indirizzo e-mail:
donzacc(at)gmail.com
[size=75]N.B. Titolo modificato da luca.barletta[/size]
Mi trovo davanti a un dubbio: nello studio del differenziale di una funzione f:A-->R (con a aperto di Rn) si detto che il differenziale df è un' applicazione lineare o meglio un funzionale lineare (perchè definito in Rn a valori in R)che vale df(x)=Somma(fxi dxi) i=1,....,n e dove fxi sono le derivare parziali nelle direzioni x1, x2,....xn.
Successivamente nello studio delle forme differenziali, sui sacri testi si asserisce che il differenziale è una particolare FORMA DIFFERENZIALE (Cioè se w=df tale forma differenziale è una forma diffferenziale esatta). Fin qui tutto ok.
Sapendo però che una FORMA DIFFERENZIALE è un'applicazione w:A-->(Rn)* (con A aperto di Rn e (Rn)*suo duale) mi chiedo come fà il DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE df ad essere sia un'applicazione lineare df: A-->R e contemporaneamente un'applicazione df:A-->(Rn)* (con a aperto di Rn e (Rn)*suo duale) ??? Non mi spiego quasta cosa o sono io che faccio confusione in qualche punto...
Se qualcuno può aiutarmi lo ringrazio anticipatamente... e può anche scrivermi al mio indirizzo e-mail:
donzacc(at)gmail.com
[size=75]N.B. Titolo modificato da luca.barletta[/size]
Risposte
Benvenuto,
prima di postare un messaggio su un qualsiasi forum pubblico bisognerebbe almeno leggerne il regolamento.
Bisogna scrivere in minuscolo, a partire dal titolo del topic. Lo modifico.
prima di postare un messaggio su un qualsiasi forum pubblico bisognerebbe almeno leggerne il regolamento.
Bisogna scrivere in minuscolo, a partire dal titolo del topic. Lo modifico.
Chiedo umilmente venia, ho peccato di troppa frettolosità.
Leggo spesso questo forum ma non avevo mai scritto.
Nell'occasione ho anche imparato a scrivere le formule.
Grazie
Daniele
Leggo spesso questo forum ma non avevo mai scritto.
Nell'occasione ho anche imparato a scrivere le formule.
Grazie
Daniele
Fissato un punto $x_0 in RR^n$ una funzione $f:RR^n to RR$ si dice differenziabile in $x_0$ se esiste una applicazione lineare $A:RR^n to RR$ tale che $f(x_0+h)-f(x_0)-A(h)=o(|h|)$
tale applicazione lineare si dirà Differenziale della funzione $f$ in $x_0$ e si denoterà$df(x_0)$.
Data poi una funzione differenziabile in $RR^n$ assegni il differenziale $df:RR^n to (RR^n)*$
(comunque fissato un punto hai una applicazione lineare da $RR^n to RR$)
Tutto quello che ho scritto è fattibile (con un po' di attenzione) anche per funzioni $f:Omega to RR$ con $Omega sub RR^n$ aperto.
tale applicazione lineare si dirà Differenziale della funzione $f$ in $x_0$ e si denoterà$df(x_0)$.
Data poi una funzione differenziabile in $RR^n$ assegni il differenziale $df:RR^n to (RR^n)*$
(comunque fissato un punto hai una applicazione lineare da $RR^n to RR$)
Tutto quello che ho scritto è fattibile (con un po' di attenzione) anche per funzioni $f:Omega to RR$ con $Omega sub RR^n$ aperto.
...il differenziale df è un' applicazione lineare...
Se $f$ è differenziabile, il differenziale $df$ è una forma differenziale lineare, che si può definire come una applicazione $RR^n\to(RR^n)^{**}$ (ad ogni $x\in RR^n$ associa il funzionale lineare $df(x)(*)$). (questa definizione di forma differenziale è abbastanza terra-terra, ma quella più generale non te la saprei argomentare...
)P.S.: ciao G.D.!
(edit) ho cambiato un poco...non si capiva niente!
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