Differenziale e forme differenziabili
Salve a tutti, sto preparando Analisi II e ci sono quasi ma due cose proprio non riesco a capirle:
La prima riguarda il differenziale, potete spiegarmi cos'è e come si calcola di una funzione di secondo grado?
Ad esempio, come si fa questo esercizio?:
calcolare il differenziale in (1,1) di
$ f(x,y) = int_(x)^(y) e^{-(t)^(2)} dt $
La seconda invece le forme differenziali: come faccio, praticamente, a verificare se una forma differenziale è chiusa o esatta, quindi integrabile?
per favore aiuto, io dal libro non lo capisco proprio, uso l'abate
grazie infinite!
La prima riguarda il differenziale, potete spiegarmi cos'è e come si calcola di una funzione di secondo grado?
Ad esempio, come si fa questo esercizio?:
calcolare il differenziale in (1,1) di
$ f(x,y) = int_(x)^(y) e^{-(t)^(2)} dt $
La seconda invece le forme differenziali: come faccio, praticamente, a verificare se una forma differenziale è chiusa o esatta, quindi integrabile?
per favore aiuto, io dal libro non lo capisco proprio, uso l'abate
grazie infinite!
Risposte
Sul differenziale vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_(matematica). Cosa intendi per funzione di II grado? 
Le forme differenziali [tex]$\omega=X(x;y)dx+Y(x;y)dy$[/tex] sono chiuse quando [tex]$\partial_yX=\partial_xY$[/tex] (derivate a croce); ove [tex]$X;Y\in C^1(A;\mathbb{R})$[/tex] ed [tex]$A$[/tex] è un aperto di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]. Tale definizione è generalizzabile a forme differenziali in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex]. Inoltre, essa sarebbe esatta in [tex]$A$[/tex] se [tex]$\exists f\in C^1(A;\mathbb{R})\mid df=\omega$[/tex].
Le forme differenziali [tex]$\omega=X(x;y)dx+Y(x;y)dy$[/tex] sono chiuse quando [tex]$\partial_yX=\partial_xY$[/tex] (derivate a croce); ove [tex]$X;Y\in C^1(A;\mathbb{R})$[/tex] ed [tex]$A$[/tex] è un aperto di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]. Tale definizione è generalizzabile a forme differenziali in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex]. Inoltre, essa sarebbe esatta in [tex]$A$[/tex] se [tex]$\exists f\in C^1(A;\mathbb{R})\mid df=\omega$[/tex].
Cosa intendi per funzione di II grado?
Scusatemi, sicuramente avrò avuto per la testa quello e quello ho scritto, volevo dire funzioni di due variabili!
Per l'esercizio non puoi aiutarmi? di quel tipo non riesco a farli..
No, mi spiace ma mi trovo impreparato in tale tipologia. 
Ricordati che una funzione di classe $C^1$ è anche differenziabile e che il differenziale di una funzione di due variabili si rappresenta mediante un vettore, il gradiente, le cui componenti sono le derivate parziali. Queste sono tutte le informazioni teoriche che ti servono per risolvere il primo esercizio.
Ti ringrazio per la risposta, perdonami però, sarò anche un po' tonto ma non ti seguo, in che senso? Potresti spiegarti meglio, sia per quanto riguarda il differenziale, ad esempio come si trova, e anche sull'esercizio?
Più che sulla teoria al momento devo concentrarmi sugli esercizi, grazie ancora!
Più che sulla teoria al momento devo concentrarmi sugli esercizi, grazie ancora!
"Steph90":
Più che sulla teoria al momento devo concentrarmi sugli esercizi, grazie ancora!
Ma prima di fare gli esercizi devi dare una lettura al libro di teoria...Cioè almeno cos'è il differenziale dovresti saperlo, prima di fare gli esercizi relativi, non credi?
Prenditi tutto il tempo che serve per preparare bene l'esame. Stai sbagliando di grosso, e non sai nemmeno quanto.
Riprendi da capo Analisi I, se l'hai preparata così come stai preparando Analisi II avrai molte lacune. Se seguirai il consiglio vedrai che recupererai il tempo "perduto". L'Università non è un esamificio, non te la prendere per queste parole, spero che non dovrai rimpiangere di non aver seguito questo consiglio.
Riprendi da capo Analisi I, se l'hai preparata così come stai preparando Analisi II avrai molte lacune. Se seguirai il consiglio vedrai che recupererai il tempo "perduto". L'Università non è un esamificio, non te la prendere per queste parole, spero che non dovrai rimpiangere di non aver seguito questo consiglio.
Ti ringrazio per la risposta, perdonami però, sarò anche un po' tonto ma non ti seguo, in che senso? Potresti spiegarti meglio, sia per quanto riguarda il differenziale, ad esempio come si trova, e anche sull'esercizio?
Data una funzione differenziabile $f : \RR^2 -> \RR$, il differenziale è definito come la forma differenziale
$df = f_x dx + f_y dy$
dove $f_x$ e $f_y$ sono le derivate parziali in $x$ e $y$ rispettivamente. Per calcolare il differenziale hai quindi solo bisogno di calcolarti le derivate parziali.
Sia quindi $f(x,y) = \int_x^y e^{-t^2} dt$.
$f_x = \partial/(\partial x) \int_x^y e^{-t^2} dt = - \partial/(\partial x) \int_y^x e^{-t^2} dt = - e^{-x^2}$
$f_y = \partial/(\partial y) \int_x^y e^{-t^2} dt = \partial/(\partial y) \int_x^y e^{-t^2} dt = e^{-y^2}$
La forma differenziale è quindi
$df = e^{-y^2} dy - e^{-x^2} dx$
I passaggi sono esattamente quelli che erano stati forniti da dissonance nel post precedente. Se i passaggi non sono ancora chiari (non farebbe male farlo in ogni caso), ti consiglio di studiare bene la teoria. Una volta compresa la teoria, gli esercizi su questi argomenti sono infatti abbastanza "semplici". In effetti, la maggior parte degli esercizi si riduce spesso alla risoluzione di uno o più integrali o al calcolo di alcune derivate come in questo caso.
So benissimo che la teoria è importantissima, ed è proprio per questo che quando la farò mi ci concentrerò su per bene, ma non è colpa mia se la prof vuol farci fare lo scritto adesso e l'orale a Gennaio, dunque siccome ho deciso all'ultimo momento di provarlo, cerco di fare il possibile, meglio provarci che niente...
Comunque grazie a tutti per il consiglio e soprattutto ad Apatriarca!
Sapresti dirmi qualche qualcosa anche su
Grazie!
Comunque grazie a tutti per il consiglio e soprattutto ad Apatriarca!
Sapresti dirmi qualche qualcosa anche su
La seconda invece le forme differenziali: come faccio, praticamente, a verificare se una forma differenziale è chiusa o esatta, quindi integrabile?
Grazie!
La seconda invece le forme differenziali: come faccio, praticamente, a verificare se una forma differenziale è chiusa o esatta, quindi integrabile?
Definizioni:
Quelle forme $omega$ che stai studiando si chiamano lineari in un aperto $E in RR^2$ , e sono funzioni il cui dominio sono tutte le curve $gamma$ la cui derivata è continua. Il valore di queste funzioni si calcola mediante un integrale detto in questo caso integrale di linea.
Una forma differenziale lineare in un aperto $E$ del piano è così: $omega = a(x,y)dx + b(x,y)dy$ dove $a$ e $b$ sono funzioni continue in $E$.
$int_gamma omega$ così si indica il valore della anche detta 1-forma $omega$ calcolata su $gamma$.
Il valore si calcola a partire da una rappresentazione parametrica di $gamma$, e cioè:
$gamma(t) = {(x=u(t)),(y = v(t)):}$ con $t in [c,d] =>$ "dominio di parametrizzazione" e dove $u(t)$ e $v(t)$ devono essere derivabili con derivata continua;
E si calcola così: $int_gamma omega = int_c^d a(u,v)du + b(u,v)dv = int_c^d a(u,v)*u^{\prime}dt + b(u,v)*v'dt $
Una 1-forma come quella in esame è chiusa quando $domega =0$, che in questo caso significa che, supposto che esistano e continue le derivate parziali $a_x,a_y $e $b_x, b_y$ si ha:
$a_y=b_x$
-----------------------
Il differenziale di una forma differenziale come quella in esame è il seguente:
$domega = d[a(x,y)] dx + d[b(x,y)]dy $ con $ {(d(a)= a_xdx + a_ydy),(d(b) = b_xdx + b_ydy):}$
Considera che forme di questo tipo: $dxdx$ e $dydy$ sono nulle, il perchè deriva dalla definizione generale, che non ti ho dato. Perchè quel $dxdx$ in realtà considera uguali righe di un Jacobiano, ma qui sarei dovuto partire da altre premesse, quindi nel calcolo sopra considera solo le forme $dxdy$.
-----------------------
Una condizione per l'esattezza(di una forma chiusa), cioè l'esistenza di un altra forma di un ordine appena inferiore $delta$ che soddisfa opportune ipotesi e per cui $ddelta = omega$, guarda come sono fatti gli insiemi, e allora $omega$ è esatta se $E$ è un insieme aperto convesso, in pratica $E$ se contiene due punti, contiene anche il segmento che li unisce.
PS
Le curve sono funzioni vettoriali, il luogo geometrico è una rappresentazione intuitiva, laddove possibile, della curva, per cui uno stesso luogo geometrico può essere il codominio di curve distinte.
Spero di non averti confuso ulteriormente le idee, l'intenzione era chiarificatrice, ma mi rendo conto che se non si parte dalle giuste premesse, la questione, che è solo apparentemente complicata, diventa un problema, pensa che il teorema fondamentale del calcolo integrale in spazi euclidei di dimensioni superiore ad 1, è il frutto praticamente di una elaborata struttura di definizioni, solo definizioni, la dimostrazione è banale, ora guardati la dimostrazione del teorema di stokes nei casi concreti che vi fanno sorbire, includendo anche i sotto casi cioè, è mostruosa!
Altroché, mi sei stato di grandissimo aiuto!!!! 
Ti ringrazio veramente tantissimo!
Non vorrei approfittare della tua gentilezza, ma mentre ci sono provo a farti anche un'altra domanda:
Come si trova l'area racchiusa dalla curva ρ(θ)=sen(2θ) con θ in [0, pi/2] ?
Grazie, grazie, grazie!
Ti ringrazio veramente tantissimo!
Non vorrei approfittare della tua gentilezza, ma mentre ci sono provo a farti anche un'altra domanda:
Come si trova l'area racchiusa dalla curva ρ(θ)=sen(2θ) con θ in [0, pi/2] ?
Grazie, grazie, grazie!
@Steph90: Ciò che ti ha scritto regim lo avresti trovato (spiegato sicuramente con più dovizia di particolari) sul tuo libro di teoria, se ti fossi scomodato/a a prenderlo da sopra lo scaffale.
Segui il consiglio di Charlie Brown (cfr. la seconda vignetta nella mia firma), che è uno che se ne intende...
Segui il consiglio di Charlie Brown (cfr. la seconda vignetta nella mia firma), che è uno che se ne intende...
L'ho detto anche prima quale libro uso, se non mi credi guardalo tu e vedi che, almeno per chi si avvicina a determinati argomenti per la prima volta, è alquanto difficile da capire, specie se la tua prof ti ha spiegato poco o niente, e con quei pochi appunti che sei riuscito a prendere non trovi nessuna somiglianza.. Forse sarò chiuso io, perché no, ma posso assicurarti anche che non c'è uno straccio di esercizio spiegato, tipo quello dell'area che chiedevo prima, se mi consigli tu un libro dove poter trovarli sarò felice di prenderne visione! Se avessi già il materiale sotto mano, e bastasse alzarmi e dirigermi allo scaffale (ops, non troverei niente lì perchè il libro ce l'ho già aperto sul tavolo) per consultare il libro non starei qui a speranza di qualcuno che mi rispondesse... Grazie lo stesso!
@Steph90: Nei tuoi post in questo thread non ho trovato alcun titolo...
Ad ogni modo, come si calcola l'area sottesa ad una curva assegnata in coordinate polari (suppongo, giacché non lo dici esplicitamente) c'è spiegato ad esempio sugli eserciziari di Marcellini-Sbordone, vol. 2° parte seconda.
A ricavare quella formula non è che ci voglia tanto: basta scrivere la formula di Gauss in coordinate polari, se non ricordo male.
***EDIT: Ah... Trovato il libro!
È nel primo post: non c'è il titolo, ma l'autore (mi aveva fregato il cognome in minuscolo...). Sinceramente, non lo conosco quel testo.
Ad ogni modo, come si calcola l'area sottesa ad una curva assegnata in coordinate polari (suppongo, giacché non lo dici esplicitamente) c'è spiegato ad esempio sugli eserciziari di Marcellini-Sbordone, vol. 2° parte seconda.
A ricavare quella formula non è che ci voglia tanto: basta scrivere la formula di Gauss in coordinate polari, se non ricordo male.
***EDIT: Ah... Trovato il libro!
È nel primo post: non c'è il titolo, ma l'autore (mi aveva fregato il cognome in minuscolo...). Sinceramente, non lo conosco quel testo.
Uso l'Abate, prova a leggere meglio il primo post...
Ad ogni modo, magari, sarò veramente chiuso!
Ad ogni modo, magari, sarò veramente chiuso!
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