Differenziale di un'equazione

[lor_fra]

Salve ragazzi studiando fisica mi é venuto un dubbio matematico nel momento in cui si differenzia l'equazione di stato dei gas perfetti,dai libri di analisi io conosco solo il differenziale di una funzione e tutte le sue proprietá come l'invarianza di forma.
Studiando sul Pagani-Salsa ho letto:
E sostanzialmente per l'invarianza di forma,che,nelle scienze applicate ,si "differenzia"una data equazione anziché derivarla.
Ad esempio pV=RT ottenendo pdV+Vdp=RdT
Quello che non mi é chiaro é proprio il passaggio in cui differenzia entrambi i membri dell'equazione anche perché al primo membro abbiamo due variabili e al secondo solo una.

[dissonance]

Ah si quel passaggio me lo ricordo. Mai capito cosa voglia dire, francamente. "Invarianza di forma"... mah. Mi sembra si stia arrampicando sugli specchi per giustificare dei passaggi poco rigorosi, ma utili, che si fanno in termodinamica.

In ogni modo, le formule che si usano per differenziare sono sempre queste due qua: \(d(f\cdot g)= df\cdot g + f\cdot dg\) e \(d(f+g)=df+dg\). Queste formule esprimono la relazione tra l'operatore $d$ e le operazioni algebriche. Siccome il differenziale di una costante è nullo, consegue dalla prima che \(d(Af)=Adf\) se $A$ è costante. Nota che in tutte queste formule non compare mai la dipendenza esplicita delle variabili dipendenti $f, g$ dalle variabili indipendenti, che infatti non sono neanche menzionate. Si intende che si stanno facendo dei calcoli "globali", ossia che non dipendono dalla scelta di un sistema di variabili indipendenti (o "sistema di coordinate", per dirla con un gergo più da matematici).

Nello specifico, abbiamo la formula \(p\cdot V -RT=0\), dove \(p, V, T\) sono le variabili dipendenti, e sono funzione di variabili termodinamiche che non vogliamo specificare ancora. Invece \(R\) è una costante. Applicando le proprietà di $d$ viste sopra otteniamo
\[
0=d(p\cdot V -RT )=dp\cdot V +p\cdot dV -RdT.\]
Fine.

[lor_fra]

Grazie 1000 per la risposta,da quello che ho capito l'invarianza di forma dice che una funzione composta ad esempio $f(x(t))$ la puoi differenziare sia rispetto alla variabile t che alla variabile x ottenendo lo stesso risultato.All'inizio pensavo che nel momento in cui differenziava pV avesse usato il differenziale di una funzione in piu variabili...ma la cosa non quadra visto che il libro é di analisi 1.

[dissonance]

"lor_fra":Grazie 1000 per la risposta,da quello che ho capito l'invarianza di forma dice che una funzione composta ad esempio $f(x(t))$ la puoi differenziare sia rispetto alla variabile t che alla variabile x ottenendo lo stesso risultato.All'inizio pensavo che nel momento in cui differenziava pV avesse usato il differenziale di una funzione in piu variabili...ma la cosa non quadra visto che il libro é di analisi 1.

Ah ok allora è la stessa cosa che dico io sopra. Sta differenziando senza preoccuparsi delle variabili indipendenti, che andrà a scegliere in un secondo momento. Spero che il mio post precedente sia sufficientemente chiaro.