Differenziale di una funzione lineare
Salve a tutti !
Stavo leggendo questa dispensa di Fioravante Patrone, e non capisco questa affermazione :
Il differenziale della funzione $f$ coincide con la funzione stessa in quanto essa e lineare.
Ho ritrovato questa affermazione anche su wikipedia, ma non riesco a capirne il motivo.
Se ad esempio si considera $g(x)=x$ so che il suo differenziale $dg(x)=g'(x)h$ ma siccome $g'(x)=1$ allora $dg(x)=h$
mi aiutereste a chiarire questa cosa?
Grazie a tutti
Stavo leggendo questa dispensa di Fioravante Patrone, e non capisco questa affermazione :
Il differenziale della funzione $f$ coincide con la funzione stessa in quanto essa e lineare.
Ho ritrovato questa affermazione anche su wikipedia, ma non riesco a capirne il motivo.
Se ad esempio si considera $g(x)=x$ so che il suo differenziale $dg(x)=g'(x)h$ ma siccome $g'(x)=1$ allora $dg(x)=h$
mi aiutereste a chiarire questa cosa?
Grazie a tutti
Risposte
Il differenziale $d$ se esiste è unico, e deve soddisfare la condizione
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\|f(x)-f(x_0)-d(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}=0
\]
(oltre a dover essere lineare). Se $f$ è lineare, basta porre $d=f$ per ottenere
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\|f(x)-f(x_0)-f(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}=\lim_{x\to x_0}\frac{\|f(x)-f(x_0)-f(x)+f(x_0)\|}{\|x-x_0\|}
=\lim_{x\to x_0}\frac{0}{\|x-x_0\|}=0.
\]
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\|f(x)-f(x_0)-d(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}=0
\]
(oltre a dover essere lineare). Se $f$ è lineare, basta porre $d=f$ per ottenere
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\|f(x)-f(x_0)-f(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|}=\lim_{x\to x_0}\frac{\|f(x)-f(x_0)-f(x)+f(x_0)\|}{\|x-x_0\|}
=\lim_{x\to x_0}\frac{0}{\|x-x_0\|}=0.
\]
Ti ringrazio, ma nell esempio che ho fatto sopra il differenziale è la funzione costante 1,ed è diverso da g, come si spega cio?
"Cuppls":
Nell esempio che ho fatto sopra il differenziale è la funzione costante 1
No, ti sbagli. Sai cos'è $h$ nella formula che hai scritto? (Formula che sarebbe meglio scrivere come $\text{d}g(x).h = g'(x) \cdot h$ o $\text{d}g(x)(h) = g'(x) \cdot h$.)
Certo,$f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+o(||h||) ,h->0$ e $h$ è quello che compare nella formula di sopra, l invremento. Prima volevo dire che il differenziale è la funzione costante $h$ , ma comunque non mi torna il fatto che il differenziale di una funzione lineare sia la funzione stessa. Graficamente e col ragionamento di billyballo capisco il perché,ma operativamente non mi torna questo risultato
Oh, quindi $h$ è un incremento, ovvero è l'argomento della funzione $\text{d}f(x)$ (non farti ingannare dalle parentesi, $\text{d}f(x)$ è una funzione, quindi prende valori da qualche parte e restituisce valori da qualche altra; sapresti dire chi sono il dominio ed il codominio di $\text{d}f(x)$ (con $x$ fissato) in questo caso?). Quindi se scegliamo la funzione $x \mapsto x$ che prende un $x$ reale e restituisce lo stesso $x$ reale otteniamo la funzione che all'incremento $h$ (reale) associa lo stesso valore $h$ ovvero $h \mapsto h$. In altre parole, la nostra funzione di partenza era la funzione identica, il suo differenziale è la funzione identica.
Se passiamo a funzioni $\mathbb R ^n \to \mathbb R$ cosa cambia? Se volessimo interpretare $\text{d}f$ come una funzione quali sarebbero il dominio ed il codominio? E passando a funzioni $\mathbb R ^n \to \mathbb R ^m$?
Se passiamo a funzioni $\mathbb R ^n \to \mathbb R$ cosa cambia? Se volessimo interpretare $\text{d}f$ come una funzione quali sarebbero il dominio ed il codominio? E passando a funzioni $\mathbb R ^n \to \mathbb R ^m$?
Credo che adesso mi sia chiaro! Quindi il differenziale ,per un $x$ fissato, applicato all incremento, restituisce un certo valore. Non lo avevo mai visto in questi termini, e credo che questo sia il modo 'giusto' di vederlo essendo un applicazione lineare. Il dominio e codominio vivono nello stesso spazio di definizione della funzione, ma mi verrebbe da dire che il dominio del differenziale è un sottoinsieme del dominio della funzione, il sottoinsieme composto dai punti nella quale la funzione è differenziabile. Il codominio è la sua immagine. In più variabili il discorso non cambia per quanto riguarda dominio e codominio. È corretto?
Il dominio del differenziale è tutto $\mathbb{R}^n$ (come succede per QUALUNQUE APPLICAZIONE LINEARE).
Si giusto! Grazie a tutti e 2 per le risposte!
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