Differenziale di una funzione

[anonymous_ed8f11]

Salve a tutti,
oggi ho avuto una piccola "illuminazione" che vorrei condividere con tutti chi come me abbiano avuto problemi a capire il concetto di differenziale di una funzione.

All'esame di analisi matematica il differenziale mi era stato definito in modo estratto, come un'applicazione lineare, ed avevo dovuto studiare tutta una serie di proprietà molto astratte riguardo a come calcolarlo e manipolarlo. Il differenziale secondo allo stesso modo mi era stato definito come una forma quadratica, che gode di tutta una serie di proprietà da dimostrare anch'esse.
Il discorso era rimasto assolutamente astratto per me, non è che non avessi capito la teoria matematica, ma rimaneva una cosa fumosa, un'estensione puramente formale del concetto di derivata.

Oggi in un altro corso il professore è rimasto attonito di fronte al fatto che nessuno di noi sapesse che il differenziale in realtà ha un profondo significato fisico e geometrico...non ho ancora capito esattamente come funziona...ma in pratica rappresenta un'approssimazione, non di una funzione, ma della variazione di una funzione.

Ma io mi chiedo, perchè ai corsi di analisi si studiano le cose in questo modo? Io sono il primo che in generale ama l'astrazione, ma la base di partenza è sempre il concreto, e poi si generalizza!!

Ora sto cercando in internet qualche sito o dispensa con esempi e spiegazioni chiare della cosa, e se qualcuno sapesse darmi qualche link gliene sarei molto grato

Lorenzo

[gugo82]

Il tuo prof., quell cui sei tanto grato, non ti ha detto nulla di più di ciò che avresti dovuto già notare da solo studiando Analisi I.

Infatti, per definizione di differenziale, hai:

[tex]$f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\text{o}(|x-x_0|)$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex],

ove [tex]$L(x-x_0)$[/tex] è il differenziale della tua funzione in [tex]$x_0$[/tex], quindi è evidente che [tex]$f(x)- f(x_0)\approx L(x-x_0)$[/tex] intorno a [tex]$x_0$[/tex].

Lo stesso vale per il differenziale secondo: per definizione è:

[tex]$f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)-H(x-x_0,x-x_0) =\text{o}(|x-x_0|^2)$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex],

ove [tex]$H(\cdot ,\cdot)$[/tex] è il differenziale secondo in [tex]$x_0$[/tex], ergo [tex]$f(x)-f(x_0)\approx L(x-x_0)+H(x-x_0,x-x_0)$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex].

Non trovi?

Ad ogni modo, questi sono i limiti dell'eccessivo formalismo (e dei professori eccessivamente formalisti, che delegano allo studente tutto il compito di decifrare il significato pratico dei teoremi)... Non ricordo chi fosse, probabilmente Arnold, che ripeteva sempre qualcosa del genere a proposito del burbakismo imperante in Francia: Se vai in Francia e chiedi ad uno studente quanto fa [tex]$1+1$[/tex], lui ti risponde che il risultato è il successivo di [tex]$1$[/tex].

[dissonance]

Aggiungo a quanto detto da Gugo: per "vedere" un po' il calcolo in più variabili un link molto carino è questo

http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/r ... athml.html

[anonymous_ed8f11]

Per Dissonance:
bellissimo sito! ho letto la parte sul differenziale ed è fatta molto bene, i grafici che ruotano sono veramente validi dal punto di vista didattico, specie per capire i casi "patologici" dove esistono derivate parziali continue ma la funzione non è differenziabile. Ottimo consiglio come al solito, grazie

Per Gugo:
La tua definizione sembra copiata dai miei appunti
Rileggendo il mio primo post ho notato di essermi espresso forse in maniera un po'frettolosa, e vorrei fosse chiaro che non nutro risentimento nei confronti di qualche docente in particolare. Dal mio personale punto di vista di studente, ho notato che capisco molto meglio le cose quando chi spiega parte da un esempio concreto, pone un problema, e poi lo risolve ripercorrendo in classe il ragionamento che hanno fatto coloro i quali per primi hanno scoperto il teorema o quant'altro. Le generalizzazioni funzionano molto bene e sono molto utili, ma quando uno ha già un concetto ben chiaro nella mente.
Prova a pensare Taylor ad esempio: quando ha trovato la sua celebre formula dello sviluppo in polinomi probabilmente non è partito vedendola in un sogno avuto la notte precedente, o vedendola scritta ad una lavagna, ma è partito pensando a quale potrebbe essere un buon modo per ottenere delle approssimazioni di funzioni che gli servivano. Partire dalla formula in serie, dimostrarla analiticamente e poi elencarne le proprietà secondo me fa perdere il contatto allo studente con ciò che sta studiando realmente. Non dimentichiamo che la matematica ha profonde radici nelle scienze, non è un semplice diletto della logica!

Comunque, polemiche a parte dalla tua formula io non riesco a capire come scrivere in pratica il differenziale di una funzione.
Tanto per fare un esempio nell'ambito della meccanica razionale studiando gli spostamenti virtuali mi sono imbattuto in problemi di questo tipo che non so bene risolvere.
Se ho in un porblema di statica in 2D un punto $P$ vincolato a stare su una circonferenza di raggio $a$, posso trovare il vettore posizione del punto $\vec r_P(\varphi)=(a"cos" \varphi, a"sin" \varphi)$, considerando $\varphi$ l'angolo compreso tra l'orizzontale ed il raggio vettore del punto.
Il punto ammette un solo spostamento virtuale $\delta \vec r_P(\varphi)$ lungo la circonferenza, e gli spostamenti virtuali sono definiti come il differenziale della funzione posizione, solo che non capisco come si calcola questo benedetto differenziale.
Volendo potrei trovare lo sviluppo di Taylor di ordine 1 della circonferenza nei pressi di un punto dato, ma il concetto di linearizzare l'incremento sul quale a lezione è stata data tanta importanza io proprio non lo ho chiaro...