Differenziale di una funzione

[nikki1]

qualcuno potrebbe spiegarmi intuitivamente l'interpretazione geometrica del concetto di differenziale di una funzione?

[g.schgor1]

Detto molto terra a terra, e' la curva che rappresenta
in ogni punto la pendenza che ha il punto corrispondente
nella funzione originale.

[david_e1]

Altrimenti puoi pensare il differenziale in un punto come la migliore approssimazione lineare della funzione nell'intorno del punto: e' la retta che approssima meglio la funzione vicino al punto scelto.

[Sk_Anonymous]

Piu' che la retta direi lo spazio affine di diemensione n, dove n rappresenta la dimensione del dominio di f (se f e' a valori reali).

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Camillo]

Secondo me, Luca, adesso dovresti spiegare in modo semplice e intuitivo che cosa è lo spazio affine.

Camillo

[david_e1]

Se mi ricordo bene dovrebbe essere il sottospazio a n dimensioni di R^n+1 sul quale la proiezione del vettore X = [x , 0]^T x in R^n e' la migliore approssimazione di [x, f(x)]^T....

Correggetemi se sbaglio.

[Sk_Anonymous]

Un sottospazio affine e' semplicemente un traslato di un sottospazio vettoriale. La mia correzione voleva solo significare che il differenziale non e' sempre una retta: e' una retta se la funzione e' definita in R; e' un piano se la funzione e' definita in R^2;... e' un sottospazio affine n-dimensionale se la funzione e' definita in R^n.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[nikki1]

Allore se f:A C R^n ->R è una retta perchè il dominio ha dimensione 1?

[Sk_Anonymous]

Come ha dimensione 1, se metti R^n ha dimensione n, non 1.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[nikki1]

già mi sono confuso

[alice41]

Nikki, ti riporto due splendidi quanto semplici esempi da: "Esercizi di analisi matematica 1" di Buzzetti, ecc...
Considera la fz. f(x)=x^2. Naturalmente rappresenta l'area del quadrato di lato x. L'incremento della fz. f(x+h)-f(x)=2xh+h^2 consiste nell'area dei due rettangolini di lati x e h e del quadratino di lato h (h è l'incremento infinitesimo della x). Il differenziale della fz. f'(x)*h=2xh corrisponde "soltanto" ai due rettangolini, senza il quadratino.
Ancora meglio: la fz. f(x)=pi*x^2, cioè l'area di un cerchio di raggio x. Mentre l'incremento della fz. rappresenta l'area della corona circolare esterna al cerchio e di spessore infinitesimo h, il differenziale corrisponde all'area del rettangolino di altezza h e base uguale alla circonferenza interna della corona.

Ricordo che tanto tempo fa per me erano stati illuminanti. Spero servano anche a te.
Ciao