Differenziale di funzioni composte (variabili vettoriali, a valori vettoriali)
Salve gente, ancora oggi propongo un dubbio su Analisi II. Devo dimostrare il teorema di sopra e come al solito i libri danno dimostrazioni appena accennate oppure rimandano al lettore come esercizio. Devo dimostrare che:
Th: Siano assegnate due funzioni, $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ e $G:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^k$. Sia $F$ differenziabile in un punto $x_0\inDom(F)\subset\mathbb{R}^n$ e $G$ differenziabile nel punto $F(x_0)\inDom(G)\subset\mathbb{R}^m$. Allora si definisce la funzione composta $(G\circ\F):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k$ e quest'ultima è differenziabile in $x_0$. Inoltre il suo differenziale è dato dalla composizione dei rispettivi differenziali (prodotto tra matrici di Jacobi).
Questo è il mio tentativo di dimostrazione:
Dim:
Per ipotesi $F$ è differenziabile in $x_0$ e $G$ in un certo punto $y_0$, da cui si scrive che (da definizione di differenziabilità)
\(F(x_0+\Delta x) - F(x_0) = D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
\(G(y_0+\Delta y) - G(y_0) = D_G|_{y_0}\Delta y + o(\begin{Vmatrix} \Delta y\end{Vmatrix})\)
Ponendo:
$y = F(x_0+\Deltax)$
$y_0 = F(x_0)$
si ottiene che (ricordando $\Deltay = y - y_0$)
\(G(F(x_0+\Delta y)) - G(F(x_0)) = D_G|_{F(x_0)}(F(x_0+\Delta x) - F(x_0)) + o(\begin{Vmatrix} F(x_0+\Delta x) - F(x_0)\end{Vmatrix})\)
Ricordando la definizione di differenziabilità possiamo sostituire ad ogni occorrenza di $F(x_0+\Delta x) - F(x_0)$ il suo equivalente.
\(G(F(x_0+\Delta y)) - G(F(x_0)) = D_G|_{F(x_0)}(D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})) + o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\end{Vmatrix})\)
A questo punto rimane da dimostrare che
\(D_F|_{x_0}o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) + o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
Questa è la mia proposta (ergo ho dubbi qui:)
\(\lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} \frac{D_F|_{x_0}o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}} = \lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} D_F|_{x_0} * \lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} \frac{o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}} \)
\(= \lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} D_F|_{x_0} * 0 = 0 \implies D_F|_{x_0}o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
Per quanto riguarda \(o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\) uso una proprietà delle norme per raccogliere un \(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}\):
\(o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) \end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} D_F|_{x_0} + \frac{o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}\end{Vmatrix})\)
Per \(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}\to 0\) quindi \(o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) \end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x \end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\) poiché fissata $F$ ed $x_0$ \(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0} \end{Vmatrix}\) è costante. Si sfrutta dunque una proprietà degli o piccoli che suggerisce come $o(cx) = o(x)$ se $c = costante$
In definitiva quindi
\(G(F(x_0+\Delta y)) - G(F(x_0)) = D_G|_{F(x_0)}(D_F|_{x_0}\Delta x) + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
\(= D_G|_{F(x_0)}(D_F|_{x_0}\Delta x) + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) \) come da dimostrare.
È corretto?
Grazie!
Th: Siano assegnate due funzioni, $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ e $G:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^k$. Sia $F$ differenziabile in un punto $x_0\inDom(F)\subset\mathbb{R}^n$ e $G$ differenziabile nel punto $F(x_0)\inDom(G)\subset\mathbb{R}^m$. Allora si definisce la funzione composta $(G\circ\F):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k$ e quest'ultima è differenziabile in $x_0$. Inoltre il suo differenziale è dato dalla composizione dei rispettivi differenziali (prodotto tra matrici di Jacobi).
Questo è il mio tentativo di dimostrazione:
Dim:
Per ipotesi $F$ è differenziabile in $x_0$ e $G$ in un certo punto $y_0$, da cui si scrive che (da definizione di differenziabilità)
\(F(x_0+\Delta x) - F(x_0) = D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
\(G(y_0+\Delta y) - G(y_0) = D_G|_{y_0}\Delta y + o(\begin{Vmatrix} \Delta y\end{Vmatrix})\)
Ponendo:
$y = F(x_0+\Deltax)$
$y_0 = F(x_0)$
si ottiene che (ricordando $\Deltay = y - y_0$)
\(G(F(x_0+\Delta y)) - G(F(x_0)) = D_G|_{F(x_0)}(F(x_0+\Delta x) - F(x_0)) + o(\begin{Vmatrix} F(x_0+\Delta x) - F(x_0)\end{Vmatrix})\)
Ricordando la definizione di differenziabilità possiamo sostituire ad ogni occorrenza di $F(x_0+\Delta x) - F(x_0)$ il suo equivalente.
\(G(F(x_0+\Delta y)) - G(F(x_0)) = D_G|_{F(x_0)}(D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})) + o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\end{Vmatrix})\)
A questo punto rimane da dimostrare che
\(D_F|_{x_0}o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) + o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
Questa è la mia proposta (ergo ho dubbi qui:)
\(\lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} \frac{D_F|_{x_0}o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}} = \lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} D_F|_{x_0} * \lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} \frac{o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}} \)
\(= \lim_{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \to 0} D_F|_{x_0} * 0 = 0 \implies D_F|_{x_0}o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
Per quanto riguarda \(o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\) uso una proprietà delle norme per raccogliere un \(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}\):
\(o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) \end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} D_F|_{x_0} + \frac{o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}{\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})}\end{Vmatrix})\)
Per \(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}\to 0\) quindi \(o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) \end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0}\Delta x \end{Vmatrix}) = o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\) poiché fissata $F$ ed $x_0$ \(\begin{Vmatrix} D_F|_{x_0} \end{Vmatrix}\) è costante. Si sfrutta dunque una proprietà degli o piccoli che suggerisce come $o(cx) = o(x)$ se $c = costante$
In definitiva quindi
\(G(F(x_0+\Delta y)) - G(F(x_0)) = D_G|_{F(x_0)}(D_F|_{x_0}\Delta x) + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix})\)
\(= D_G|_{F(x_0)}(D_F|_{x_0}\Delta x) + o(\begin{Vmatrix} \Delta x\end{Vmatrix}) \) come da dimostrare.
È corretto?
Grazie!
Risposte
Nessuno?
Non risponde nessuno perché è un po' scocciante leggere tutto questo, anche se capisco che ti faccia bene scriverlo. In ogni caso, il fatto che $L(o(h))=o(h)$ per ogni operatore lineare $L$ e per $h\in \mathbb R^n$, $h\to 0$ è una conseguenza immediata della disuguaglianza
\[\tag{1}
|Lh|\le C|h|, \]
dove \(C\ge 0\) è una costante che non dipende da \(h\). (Tale costante è in effetti la costante di Lipschitz di \(L\); tutte le funzioni lineari su \(\mathbb R^n\) sono Lipschitziane). Quindi
\[
|Lo(h)|\le Co(h)=o(h).\]
Applica questo con \(L=DF(x_0)\).
\[\tag{1}
|Lh|\le C|h|, \]
dove \(C\ge 0\) è una costante che non dipende da \(h\). (Tale costante è in effetti la costante di Lipschitz di \(L\); tutte le funzioni lineari su \(\mathbb R^n\) sono Lipschitziane). Quindi
\[
|Lo(h)|\le Co(h)=o(h).\]
Applica questo con \(L=DF(x_0)\).
È bene o male ciò che ritrovo nei miei appunti. Non avendo tuttavia trattato operatori lineari usati con o-piccoli nel corso di Analisi I non comprendo l'origine della disuguaglianza e vorrei invece dare una dimostrazione in termini più "elementari".
Si comunque come hai fatto tu va bene. Nota che stai implicitamente usando pure tu che le funzioni lineari sono continue, il che è vero, naturalmente.
Ottimo, grazie per la pazienza!
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