Differenziale di funzioni a valori in R^n
Il differenziale di una funzione $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è una forma differenziale lineare che ad ogni vettore di $\mathbb{R}^n$ associa un funzionale lineare (o forma lineare) che non è altro che il differenziale della funzione in quel punto; ovvero \[df: \mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^*, \ \ \mathbf{x} \mapsto df_{\mathbf{x}}\]
Se però ora consideriamo una funzione $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ il differenziale sarà una cosa del tipo: \[dg: \mathbb{R}^n \to \text{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m), \ \ \mathbf{x} \mapsto dg_{\mathbf{x}}\]
e il differenziale in un punto fissato sarà:
\[dg_{\mathbf{x}}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \ \ \mathbf{h} \mapsto dg_{\mathbf{x}}(\mathbf{h})\]
Come si fa rientrare questo caso nella teoria delle forme differenziali? Si considera il differenziale semplicemente come un vettore di forme lineari?
Grazie, Ciao!
Se però ora consideriamo una funzione $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ il differenziale sarà una cosa del tipo: \[dg: \mathbb{R}^n \to \text{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m), \ \ \mathbf{x} \mapsto dg_{\mathbf{x}}\]
e il differenziale in un punto fissato sarà:
\[dg_{\mathbf{x}}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \ \ \mathbf{h} \mapsto dg_{\mathbf{x}}(\mathbf{h})\]
Come si fa rientrare questo caso nella teoria delle forme differenziali? Si considera il differenziale semplicemente come un vettore di forme lineari?
Grazie, Ciao!
Risposte
Non sono sicuro delle prime due righe. Una forma differenziale lineare su \(\mathbb{R}^{n}\) o \(1\)-forma differenziale è una applicazione \(\omega:\mathbb{R}^{n}\rightarrow (\mathbb{R}^{n})^{*}\). La forma si dice esatta se esiste \(F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) differenziabile e tale che \(\mbox{d}F=\omega\). Direi cioè che il differenziale non è una forma differenziale.
Come no?! Il differenziale è una forma differenziale lineare! Ad ogni punto infatti associa una forma lineare che è il differenziale nel punto. Di questo ne sono sicuro.
@ Emar: Dipende da cosa intendi con "Come si fa rientrare questo caso nella teoria delle forme differenziali?"... Che cosa vuoi fare di preciso?
Ad ogni modo, credo che la risposta sia più o meno dalle parti della Geometria Differenziale.
Ad ogni modo, credo che la risposta sia più o meno dalle parti della Geometria Differenziale.
"gugo82":
... Che cosa vuoi fare di preciso?
Niente di preciso, cercavo solo di capire a fondo questi argomenti per sapere su cosa metto le mani.
Pensavo che lo spazio duale fosse la "soluzione definitiva" e poi, ragionando un po', mi trovo fra le scatole sto $\text{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ che mi sconvolge tutto
"gugo82":
Ad ogni modo, credo che la risposta sia più o meno dalle parti della Geometria Differenziale.
Eh già lo immagino anch'io. Piano piano, con calma, cercherò di trovare una risposta a questa domanda
Ah, vabbé... Allora è semplice: infatti \(\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m) =(\mathbb{R}^n)^*\) se \(m=1\).
No no vabbè questo lo sapevo. Speravo di trovare un forma che nel caso di $m$ qualsiasi si riconducesse in qualche modo allo spazio duale.
Mi viene in mente una cosa così:
\[\text{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) = \underbrace{(\mathbb{R}^n)^* \ \times ... \times \ (\mathbb{R}^n)^*}_{m\text{-volte}} = ((\mathbb{R}^n)^*)^m \]
ma penso non sia il massimo...
Mi viene in mente una cosa così:
\[\text{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) = \underbrace{(\mathbb{R}^n)^* \ \times ... \times \ (\mathbb{R}^n)^*}_{m\text{-volte}} = ((\mathbb{R}^n)^*)^m \]
ma penso non sia il massimo...
"Emar":
Come no?! Il differenziale è una forma differenziale lineare! Ad ogni punto infatti associa una forma lineare che è il differenziale nel punto. Di questo ne sono sicuro.
Scusa ero confuso. Non so perché ho scritto così, e ho pure aggiunto \(\mbox{d}F=\omega\). Chiedo venia
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo