Differenziale
ciao a tutti..ho questo differenziale $\y''-2y'-3y=(4x-1)/x^2e^(3x)
ho calcolato la $\y_0$,e la particolare dovrebbe essere uguale a $\xe^(3x)(Pm_(x))$ (in quanto $\lambda=lambda_2$)
ma questo polinomio $\Pm_x$ a quanto è uguale?per caso ad $\(ax+b)/(cx^2+dx+h)
ho qualche dubbio perche è una funzione fratta,se ad esempio il termine noto era solo $\x^2$ sapevo che $\Pm_x$era uguale ad $\ax^2+bx+c
ho calcolato la $\y_0$,e la particolare dovrebbe essere uguale a $\xe^(3x)(Pm_(x))$ (in quanto $\lambda=lambda_2$)
ma questo polinomio $\Pm_x$ a quanto è uguale?per caso ad $\(ax+b)/(cx^2+dx+h)
ho qualche dubbio perche è una funzione fratta,se ad esempio il termine noto era solo $\x^2$ sapevo che $\Pm_x$era uguale ad $\ax^2+bx+c
Risposte
chi puo spiegarmi la risoluzione della soluzione particolare??
puoi usare il metodo della risposta impulsiva, lo conosci ?
no..ho usato il metodo generale(o di lagrange)ma volevo sapere se con il metodo "tradizionale" era possibile lo stesso..se c'è solo quel metodo che hai citato me lo spiegheresti?
"piccola88":
no..ho usato il metodo generale(o di lagrange)ma volevo sapere se con il metodo "tradizionale" era possibile lo stesso..se c'è solo quel metodo che hai citato me lo spiegheresti?
Nno saprei, perchè ho incontrato un esercizio simile (con un polinomio fratto), e le soluzioni proponevano questo metodo, visto che il metodo della simiglianza non era possibile usarlo..
comunque il metodo è spiegato abbastanza bene attraverso questi esercizi: http://calvino.polito.it/~camporesi/eqdiff1.pdf esercizio 16 e seguenti..
Allora partiamo dall'inizio,
L'equazione differenziale da studiare è [tex]y''-2y'-3y= \frac {(4x-1)}{x^2} e^{3x}[/tex]
STEP 1. Cerchiamo l'integrale generale (= soluzone generale) dell'omogenea associata:
[tex]y''-2y'-3y= 0[/tex]
L'equazione caratteristica é:
[tex]\lambda^2 -2\lambda-3= 0[/tex]
Banale equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono: [tex]\lambda_1 = 3[/tex] e [tex]\lambda_2 = -1[/tex]
Quindi l'integrale generale dell'omogenea associata é : [tex]y_0(x,c_1,c_2)= c_1 \cdot e^{3x} + c_2 \cdot e^{-x}[/tex].
STEP 2. Cerchiamo l'integrale particolare (= soluzone particolare) della completa, con il metodo di Lagrange:
Il metodo di Lagrange, ci dice che una soluzione particolare della completa è di questo tipo:
[tex]\overline{y} = \gamma_1 \cdot e^{3x} + \gamma_2 \cdot e^{-x}[/tex] ;
dove [tex]\gamma_1[/tex] e [tex]\gamma_2[/tex] sono soluzioni di un sistema, costruito in un modo particolare.
_______________
Ti spiego prima il caso generale:
Assumendo che [tex]{y_0,y_1,.....,y_n}[/tex] siano le soluzioni dell'omogenea associata e [tex]b(x)[/tex] il termine noto della completa:
[tex]\begin{cases} \gamma_1' \cdot y_0 + \gamma_2' \cdot y_1 + .... + \gamma_n' \cdot y_n = 0 \\ \gamma_1' \cdot y_0' + \gamma_2' \cdot y_1' + .... + \gamma_n' \cdot y_n' = 0 \\ \gamma_1' \cdot y_0'' + \gamma_2' \cdot y_1'' + .... + \gamma_n' \cdot y_n'' = 0 \\........\\ \gamma_1' \cdot y_0^{(n-1)} + \gamma_2' \cdot y_1^{(n-1)} + .... + \gamma_n' \cdot y_n^{(n-1)} = b(x)
\end{cases}[/tex]
________________
Nel nostro caso; le due soluzioni particolari dell'omogenea sono: [tex]y_0= e^{3x}[/tex] e [tex]y_1 = e^{-x}[/tex], mentre il termine noto della completa è: [tex]\frac {(4x-1)}{x^2} \cdot e^{3x}[/tex]
Cioè il sistema diventa:
[tex]\begin{cases} \gamma_1' \cdot e^{3x} + \gamma_2' \cdot e^{-x} = 0 \\ 3\cdot \gamma_1' \cdot e^{3x} - \gamma_2' \cdot e^{-x} = \frac {(4x-1)}{x^2} \cdot e^{3x} \\
\end{cases}[/tex]
NB. Poichè l'ordine dell'equazione differenziale è [tex]2[/tex], il sistema consta di due equazioni.
Nella seconda equazione ho dovuto calcolare le derivate prime di [tex]e^{3x}[/tex] e [tex]e^{-x}[/tex].
Se l'ordine fosse stato [tex]3[/tex], avrei avuto [tex]3[/tex] equazioni e dovevo calcolare derivate prime e seconde. e cosi via; spero ti sia chiaro.
Arrivato qui, devi solo fare un po di calcoli.
Dal sistema ricavi [tex]\gamma_1'[/tex] e [tex]\gamma_2'[/tex], che, (sperando di non aver commesso errori di calcolo), dovrebbero uscirti:
[tex]\gamma_1' = \frac {4x-1}{4x^2}[/tex]
[tex]\gamma_2' = \frac {(1-4x)\cdot e^{4x}}{4x^2}[/tex]
Tuttavia a noi interessa trovare [tex]\gamma_1[/tex] e [tex]\gamma_2[/tex], mentre abbiamo trovato le derivate [tex]\gamma_1'[/tex] e [tex]\gamma_2'[/tex]; basta integrare, quindi:
[tex]\gamma_1 = \int \gamma_1 ' = \int \frac {4x-1}{4x^2} dx = ln|x| + \frac {1}{4x}[/tex]
[tex]\gamma_2= \int \gamma_2 ' = \int \frac {(1-4x)\cdot e^{4x}}{4x^2} dx = \frac {-e^{4x}}{4x}[/tex]
STEP 3. Conclusioni finali
Abbiamo tutti i dati per definire la soluzione particolare che era del tipo:
[tex]\overline{y} = \gamma_1 \cdot e^{3x} + \gamma_2 \cdot e^{-x}[/tex]
che quindi è:
[tex]\overline{y} = (ln|x| + \frac {1}{4x}) \cdot e^{3x} + \frac {-e^{4x}}{4x} \cdot e^{-x}[/tex]
Possiamo finalmente definire l'integrale generale che è dato dalla somma dell'integrale generale dell'omogenea con l'integrale particolare della completa:
[tex]y = c_1 \cdot e^{3x} + c_2 \cdot e^{-x} + (ln|x| + \frac {1}{4x}) \cdot e^{3x} + \frac {-e^{4x}}{4x} \cdot e^{-x}[/tex]
Il metodo di Lagrange è questo, in alcuni casi è davvero molto lungo e difficile.
ps. Avvisatemi se ci sono errori di calcolo.
L'equazione differenziale da studiare è [tex]y''-2y'-3y= \frac {(4x-1)}{x^2} e^{3x}[/tex]
STEP 1. Cerchiamo l'integrale generale (= soluzone generale) dell'omogenea associata:
[tex]y''-2y'-3y= 0[/tex]
L'equazione caratteristica é:
[tex]\lambda^2 -2\lambda-3= 0[/tex]
Banale equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono: [tex]\lambda_1 = 3[/tex] e [tex]\lambda_2 = -1[/tex]
Quindi l'integrale generale dell'omogenea associata é : [tex]y_0(x,c_1,c_2)= c_1 \cdot e^{3x} + c_2 \cdot e^{-x}[/tex].
STEP 2. Cerchiamo l'integrale particolare (= soluzone particolare) della completa, con il metodo di Lagrange:
Il metodo di Lagrange, ci dice che una soluzione particolare della completa è di questo tipo:
[tex]\overline{y} = \gamma_1 \cdot e^{3x} + \gamma_2 \cdot e^{-x}[/tex] ;
dove [tex]\gamma_1[/tex] e [tex]\gamma_2[/tex] sono soluzioni di un sistema, costruito in un modo particolare.
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Ti spiego prima il caso generale:
Assumendo che [tex]{y_0,y_1,.....,y_n}[/tex] siano le soluzioni dell'omogenea associata e [tex]b(x)[/tex] il termine noto della completa:
[tex]\begin{cases} \gamma_1' \cdot y_0 + \gamma_2' \cdot y_1 + .... + \gamma_n' \cdot y_n = 0 \\ \gamma_1' \cdot y_0' + \gamma_2' \cdot y_1' + .... + \gamma_n' \cdot y_n' = 0 \\ \gamma_1' \cdot y_0'' + \gamma_2' \cdot y_1'' + .... + \gamma_n' \cdot y_n'' = 0 \\........\\ \gamma_1' \cdot y_0^{(n-1)} + \gamma_2' \cdot y_1^{(n-1)} + .... + \gamma_n' \cdot y_n^{(n-1)} = b(x)
\end{cases}[/tex]
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Nel nostro caso; le due soluzioni particolari dell'omogenea sono: [tex]y_0= e^{3x}[/tex] e [tex]y_1 = e^{-x}[/tex], mentre il termine noto della completa è: [tex]\frac {(4x-1)}{x^2} \cdot e^{3x}[/tex]
Cioè il sistema diventa:
[tex]\begin{cases} \gamma_1' \cdot e^{3x} + \gamma_2' \cdot e^{-x} = 0 \\ 3\cdot \gamma_1' \cdot e^{3x} - \gamma_2' \cdot e^{-x} = \frac {(4x-1)}{x^2} \cdot e^{3x} \\
\end{cases}[/tex]
NB. Poichè l'ordine dell'equazione differenziale è [tex]2[/tex], il sistema consta di due equazioni.
Nella seconda equazione ho dovuto calcolare le derivate prime di [tex]e^{3x}[/tex] e [tex]e^{-x}[/tex].
Se l'ordine fosse stato [tex]3[/tex], avrei avuto [tex]3[/tex] equazioni e dovevo calcolare derivate prime e seconde. e cosi via; spero ti sia chiaro.
Arrivato qui, devi solo fare un po di calcoli.
Dal sistema ricavi [tex]\gamma_1'[/tex] e [tex]\gamma_2'[/tex], che, (sperando di non aver commesso errori di calcolo), dovrebbero uscirti:
[tex]\gamma_1' = \frac {4x-1}{4x^2}[/tex]
[tex]\gamma_2' = \frac {(1-4x)\cdot e^{4x}}{4x^2}[/tex]
Tuttavia a noi interessa trovare [tex]\gamma_1[/tex] e [tex]\gamma_2[/tex], mentre abbiamo trovato le derivate [tex]\gamma_1'[/tex] e [tex]\gamma_2'[/tex]; basta integrare, quindi:
[tex]\gamma_1 = \int \gamma_1 ' = \int \frac {4x-1}{4x^2} dx = ln|x| + \frac {1}{4x}[/tex]
[tex]\gamma_2= \int \gamma_2 ' = \int \frac {(1-4x)\cdot e^{4x}}{4x^2} dx = \frac {-e^{4x}}{4x}[/tex]
STEP 3. Conclusioni finali
Abbiamo tutti i dati per definire la soluzione particolare che era del tipo:
[tex]\overline{y} = \gamma_1 \cdot e^{3x} + \gamma_2 \cdot e^{-x}[/tex]
che quindi è:
[tex]\overline{y} = (ln|x| + \frac {1}{4x}) \cdot e^{3x} + \frac {-e^{4x}}{4x} \cdot e^{-x}[/tex]
Possiamo finalmente definire l'integrale generale che è dato dalla somma dell'integrale generale dell'omogenea con l'integrale particolare della completa:
[tex]y = c_1 \cdot e^{3x} + c_2 \cdot e^{-x} + (ln|x| + \frac {1}{4x}) \cdot e^{3x} + \frac {-e^{4x}}{4x} \cdot e^{-x}[/tex]
Il metodo di Lagrange è questo, in alcuni casi è davvero molto lungo e difficile.
ps. Avvisatemi se ci sono errori di calcolo.
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