Differenziale

[iJim]

salve a tutti avrei un paio di domande:
1. qual'è il significato geometrico ( grafico ) del differenziale? ( Parlando di funzioni a più variabili )
2. come lo si calcola ( che cos'è di preciso )
3. come faccio a sapere se una funzione è differenziabile?

Grazie a tutti in anticipo!!!

[ELWOOD1]

Se vuoi dare un'occhiata


https://www.matematicamente.it/forum/vie ... ferenziale

io ho una visione un pò personale del differenziale e decisamente bizzarra...ma io lo immagino come un indicatore della "direzione di variazione di una funzione"

[gugo82]

"iJim":salve a tutti avrei un paio di domande:
1. qual'è il significato geometrico ( grafico ) del differenziale? ( Parlando di funzioni a più variabili )

Geometricamente possiamo interpretare così la differenziabilità: il grafico di una funzione di $n$ variabili differenziabile in un punto $x_0$ è dotata di iperpiano tangente nel punto $(x_0,f(x_0))$ (questa è un interpretazione poco rigorosa, ma efficace).

"iJim":
2. come lo si calcola ( che cos'è di preciso )

Il differenziale di un'applicazione $f$ è un'applicazione lineare da $RR^n to RR$. Precisamente è l'unica applicazione lineare individuata dal vettore $\nablaf(x_0)=((\partial f)/(\partial x_1)(x_0),\ldots ,(\partial f)/(\partial x_n)(x_0))$ rispetto alla base canonica di $RR^n$:

$df|_(x_0)(x)=\nablaf(x_0) \circ x$

ove con $\circ$ ho denotato il prodotto scalare di $RR^n$ ($AA u=(u_1,\ldots ,u_n), v=(v_1,\ldots ,v_n), u\circ v =\sum_(i=1)^n u_i*v_i$).

"iJim":
3. come faccio a sapere se una funzione è differenziabile?

Esistono condizioni sufficienti che ti consentono di affermare la differenziabilità di una funzione in più variabili: la più famosa (e semplice) è la seguente "Siano $A subseteq RR^n$ aperto, $f:AtoRR$ ed $x_0 in A$. Se tutte le derivate parziali prime di $f$ esistono in un intorno di $x_0$ e se esse sono continue in $x_0$ allora la $f$ è differenziabile in $x_0$. In particolare se tutte le derivate prime $(\partial f)/(\partial x_1),\ldots ,(\partial f)/(\partial x_n)$ sono continue in $A$ allora $f$ è differenziabile in tutto (cioè in ogni punto di) $A$".
Ad esempio, la funzione definita in $RR^2$ da $f(x,y)=e^(x^2+3y)$ ha come derivate parziali prime le funzioni $(\partial f)/(\partial x)(x,y)=2x*e^(x^2+y), (\partial f)/(\partial y)(x,y)=3e^(x^2+3y)$: visto che tali funzioni sono continue in tutto $RR^2$, la $f$ è differenziabile ovunque nel suo insieme di definizione.

La condizione di continuità di tutte le derivate prime può essere indebolita.