Differenziale
Chi mi aiuta in questo esercizio?
Definire il differenziale di una funzione f derivabile in $x_0$ . Trovare il differenziaòe in $x_0 = 0$ della funzione $f(x) = e^3x$
Definire il differenziale di una funzione f derivabile in $x_0$ . Trovare il differenziaòe in $x_0 = 0$ della funzione $f(x) = e^3x$
Risposte
Si pone $df = f'(x_0)dx$. Per l'esempio, sicuro che quella è la funzione? $e^3$ coefficiente per $x$? In tal caso è banale perché è sempre $e^3 dx$
Non mi trovo con la posizione $df=f'(x_0)dx$...
E' una scrittura che ricorre nei maledetti libri di scuola...
Sia $f:X sube RR -> RR$ derivabile in $x_0 in X$. Allora
per ogni $y in RR$, risulta definita l'applicazione lineare:
$L_(x_0) : RR -> RR, L_(x_0) (y) =f'(x_0)y
l'applicazione lineare così definita è detta differenziale di f in $x_0$ calcolato in $y$.
Esiste anche una definizione geometrica e più generale
di differenziale, ma non credo faccia al caso di Nomen.
Ho voluto chiamarlo L invece di df per evidenziare due cose
1) è una funzione lineare; 2) non si calcola solo su numeri y abbastanza piccoli...
Se la funzione cui ci si sta riferendo è $f(x)=e^(3x)$,
allora $AAy in RR -= "dom"f$ si ha $L_(x) (y) = 3e^(3x) y$.
E' una scrittura che ricorre nei maledetti libri di scuola...
Sia $f:X sube RR -> RR$ derivabile in $x_0 in X$. Allora
per ogni $y in RR$, risulta definita l'applicazione lineare:
$L_(x_0) : RR -> RR, L_(x_0) (y) =f'(x_0)y
l'applicazione lineare così definita è detta differenziale di f in $x_0$ calcolato in $y$.
Esiste anche una definizione geometrica e più generale
di differenziale, ma non credo faccia al caso di Nomen.
Ho voluto chiamarlo L invece di df per evidenziare due cose
1) è una funzione lineare; 2) non si calcola solo su numeri y abbastanza piccoli...
Se la funzione cui ci si sta riferendo è $f(x)=e^(3x)$,
allora $AAy in RR -= "dom"f$ si ha $L_(x) (y) = 3e^(3x) y$.
No...scusate...ho sbagliato a digitare la funzione.
Quella giusta è
$f(x)=e^(3x)$
Quella giusta è
$f(x)=e^(3x)$
"nomen":
No...scusate...ho sbagliato a digitare la funzione.
Quella giusta è
$f(x)=e^(3x)$
Il differenziale resta, comunque, $df=f'(x) dx$ quindi
$df=3*e^(3x) dx$ che calcolato in 0 dà $df=3*e^(3*0) dx=3*dx$ che significa "in un intorno di 0 l'incremento sulla funzione è il triplo di quello sulla variabile x"
Sì, ma la cosa importante è quantificare quel $dx$...
Alla fine i nomi da usare possono essere quelli che si vuole,
l'importante è che si dica che $df$ in ogni punto
$x in X$ (X sia il dominio di f) è uguale a $f'(x)dx$
PER OGNI $dx in RR$
Alla fine i nomi da usare possono essere quelli che si vuole,
l'importante è che si dica che $df$ in ogni punto
$x in X$ (X sia il dominio di f) è uguale a $f'(x)dx$
PER OGNI $dx in RR$
E' così importante questa distinzione che fai?
Io credo che il "luogo" migliore in cui far vivere i differenziali sia il calcolo differenziale esterno, o calcolo di Cartan, dove sono visti come duali dei vettori, e il $dx$ è solo il modo per indicare quale componente stiamo considerando, un po come i soliti versori $i,j,k$ in $RR^3$,
Io credo che il "luogo" migliore in cui far vivere i differenziali sia il calcolo differenziale esterno, o calcolo di Cartan, dove sono visti come duali dei vettori, e il $dx$ è solo il modo per indicare quale componente stiamo considerando, un po come i soliti versori $i,j,k$ in $RR^3$,
"fireball":
Sì, ma la cosa importante è quantificare quel $dx$...
Alla fine i nomi da usare possono essere quelli che si vuole,
l'importante è che si dica che $df$ in ogni punto
$x in X$ (X sia il dominio di f) è uguale a $f'(x)dx$
PER OGNI $dx in X$
Non è dx che deve appartenere al dominio, bensì $x+dx in X$
Sì scusa, hai ragione, volevo dire $AA dx in RR$.
In tutta franchezza, mi pare esagerato tirar fuori il calcolo differenziale esterno...
In tutta franchezza, mi pare esagerato tirar fuori il calcolo differenziale esterno...
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Anche secondo me per il contesto in cui siamo è un po "eccessivo", però è l'ambiente in cui mi sembra di aver capito che il differenziale viva meglio, diciamo in cui perde quell'aria ambigua che, forse per una cattiva formazione matematica, vedo nel suo comune utilizzo.
Questo è vero Giovanni.
"fireball":
Sì scusa, hai ragione, volevo dire $AA dx in RR$.
In tutta franchezza, mi pare esagerato tirar fuori il calcolo differenziale esterno...
Su questo sono perfettamente d'accordo, soprattutto perchè lavorando in una sola variabile il differenziale si usa principalmente per semplici approssimazioni
Ha ragione fireball, il calcolo esterno non c'entra niente, ed il misterioso $dx$ pure: il differenziale in Analisi è definito proprio (per funzioni di una variabile) come l'applicazione lineare $x \to f'(x_0)x$.
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