Differenziale

[TomSawyer1]

Perché essenzialmente è possibile approssimare una funzione $f(x,y)$ in un intorno $P_0 in Dom(f)$ col suo differenziale? E' semplicemente perché la differenza tra l'incremento nel passaggio da $P_0(x_0,y_0)$ a $P(x,y)$ e il differenziale tende a $0$?

[Fioravante Patrone1]

se è differenziabile, è possibile per definizione
se non è differenziabile, non è possibile (sempre per definizione, sennò sarebbe differenziabile...)

scusa la sintesi, ma è proprio così!
ciao

[TomSawyer1]

Sempre meglio la sintesi.

Un'altra cosa: qual è il significato geometrico (intuitivo) del differenziale di una funzione in due variabili, cioè il significato geometrico della funzione lineare $del_uf(P_0):baru to f_x(x,y)u_1+f_y(x,y)u_2$?

[Fioravante Patrone1]

ti dà l'equazione del piano tangente al grafico, in un sistema di coordinate centrato nel punto $P = (x_0,y_0)$ (cambio notazioni perché mi è più comnodo dopo)

l'equazione del piano tangente al grafico nel punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, nel sistema di coordinate originario, è infatti:

$z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) * (x - x_0) + f_y(x_0,y_0) * (y - y_0)$

come vedi, ho sostituito $x - x_0$ ad $u_1$ e ho aggiunto $f(x_0,y_0)$

[TomSawyer1]

Giusto giusto, non consideravo il fatto che $P_0$ fosse l'argomento della funzione. Grazie.