Differenziale
Ho da chiedere una grande cortesia: poichè sto preparando Analisi uno, e non ho capito quasi per niente il concetto di differenziale, qualcuno potrebbe essere così gentile da spiegarmelo (eventualmente cominciando a parole semplici)? Ringrazio comunque e saluto tutti!
Risposte
Partiamo dalla definizione di derivata prima:
lim(deltay/deltax,deltax-->0)=f'(x);
(supponiamo f'(x) diversa da zero)
Poniamo ora :
(1) deltay/deltax-f'(x)=a.
Risulta,ovviamente lim(a,deltax-->0)=0;
da (1) si ha :
(2) deltay=f'(x)*deltax+a*deltax.
Confrontiamo adesso i due prodotti a secondo membro della (2)
con deltax ed abbiamo:
lim(f'(x)*deltax/deltax,deltax-->0)=f'(x)<>0 e cio'
significa che il termine f'(x)*deltax e' infinitesimo
dello stesso ordine rispetto a deltax.
Invece risulta:
lim(a*deltax/deltax,deltax-->0)=lim(a,deltax-->0)=0 e
cio' significa che il termine a*deltax e' un infinitesimo di ordine
superiore rispetto a deltax (cioe' tende a zero piu' rapidamente
di deltax).
In conclusione si vede da (2) che deltay (incremento della funzione)
si compone di due termini di cui il secondo e' trascurabile rispetto
al primo.Si dice pure che f('x)*deltax e' la parte principale
di deltay (rispetto a delta x).Ora e' proprio questa parte prevalente
di delta y che prende il nome di differenziale della funzione:
(3) dy=f'(x)*deltax.
Il dy puo' sostituire il deltay nei calcoli approssimati quando
deltax e' sufficientemente piccolo,cioe':
deltay e' circa uguale a dy per deltax prossimo a zero.
Se nella (3) poniamo y=x,otteniamo:
dx=1*deltax =deltax,si ha cioe il risultato importante che il differenziale della variabile indipendente e' uguale all'incremento della stessa variabile.Sostituendo nella (3) deltax con dx si ha la formula molto usata in pratica per il differenziale:
(4) dy=f'(x)dx.
Le regole di differenziazione di una somma ,di un prodotto,di
un quoto ecc sono le stesse della derivazione.
Il differenziale ha una notevole interpretazione geometrica:
dy e' l'incremento che riceve l'ordinata del punto P(x,y), corrente sulla curva y=f(x), quando questi,muovendosi sulla tangente alla
curva in P, passa al punto Q(x+dx,y+dy).
(Questa interpretazione richiede il tracciamento del disegno).
(Spero che quanto precede ti sia di una qualche utilita':
ho badato piu' al concreto che al rigore matematico)
karl.
Modificato da - karl il 30/12/2003 22:05:09
lim(deltay/deltax,deltax-->0)=f'(x);
(supponiamo f'(x) diversa da zero)
Poniamo ora :
(1) deltay/deltax-f'(x)=a.
Risulta,ovviamente lim(a,deltax-->0)=0;
da (1) si ha :
(2) deltay=f'(x)*deltax+a*deltax.
Confrontiamo adesso i due prodotti a secondo membro della (2)
con deltax ed abbiamo:
lim(f'(x)*deltax/deltax,deltax-->0)=f'(x)<>0 e cio'
significa che il termine f'(x)*deltax e' infinitesimo
dello stesso ordine rispetto a deltax.
Invece risulta:
lim(a*deltax/deltax,deltax-->0)=lim(a,deltax-->0)=0 e
cio' significa che il termine a*deltax e' un infinitesimo di ordine
superiore rispetto a deltax (cioe' tende a zero piu' rapidamente
di deltax).
In conclusione si vede da (2) che deltay (incremento della funzione)
si compone di due termini di cui il secondo e' trascurabile rispetto
al primo.Si dice pure che f('x)*deltax e' la parte principale
di deltay (rispetto a delta x).Ora e' proprio questa parte prevalente
di delta y che prende il nome di differenziale della funzione:
(3) dy=f'(x)*deltax.
Il dy puo' sostituire il deltay nei calcoli approssimati quando
deltax e' sufficientemente piccolo,cioe':
deltay e' circa uguale a dy per deltax prossimo a zero.
Se nella (3) poniamo y=x,otteniamo:
dx=1*deltax =deltax,si ha cioe il risultato importante che il differenziale della variabile indipendente e' uguale all'incremento della stessa variabile.Sostituendo nella (3) deltax con dx si ha la formula molto usata in pratica per il differenziale:
(4) dy=f'(x)dx.
Le regole di differenziazione di una somma ,di un prodotto,di
un quoto ecc sono le stesse della derivazione.
Il differenziale ha una notevole interpretazione geometrica:
dy e' l'incremento che riceve l'ordinata del punto P(x,y), corrente sulla curva y=f(x), quando questi,muovendosi sulla tangente alla
curva in P, passa al punto Q(x+dx,y+dy).
(Questa interpretazione richiede il tracciamento del disegno).
(Spero che quanto precede ti sia di una qualche utilita':
ho badato piu' al concreto che al rigore matematico)
karl.
Modificato da - karl il 30/12/2003 22:05:09
Karl, perdonami, ho tentato, ma non ho capito quasi niente. Il problema è che proprio a livello grafico non riesco ad immaginare la figura e quindi, a disegnarla. Riporto qui il testo di una fotocopia che ci ha dato la nostra prof.ssa di Analisi I, la quale se per me non è arabo, è quantomeno aramaico.
Mi rendo perfettamente conto di rompere le balle, ma so uscendo pazzo! Vi sarò grato in eterno!
Modificato da - keplero il 01/01/2004 15:38:19
Keplero,quello che ho scritto io e' esattamente corrispondente agli appunti della tua prof,anche se in termini non rigorosi(come del resto
avevo detto).
Cerchero' di commentare il testo della prof.
Comincio dalla (1):
si ha identicamente
(a1) f(x+h)=f(x)+f'(x)h +f(x+h)-f(x)-f'(x)h
Se ora poniamo
o(|h|)=[f(x+h)-f(x)]-f'(x)h
otteniamo la funzione di h di cui si parla.
Inoltre o(|h|) e' infinitesimo di ordine superiore rispetto ad h
in quanto si ha lim(o(|h|)/h)=lim([f(x+h)-f(x)]/h-f'(x))=f'(x)-f'(x)=0.
Inoltre risulta da (a1):
(a2) f(x+h)-f(x)=f'(x)h+o(|h|)
A questo punto la prof. introduce due applicazioni di h in R:
(b1) l' applicazione ,incremento della funzione, deltaf:
deltaf:h in R--> f(x+h)-f(x) in R. (sarebbe il primo membro di (a2))
Questa prima applicazione ha la proprieta' che se f(x) e' la funzione
identica ,cioe' se f(x)=x,anche deltaf e' l'applicazione identica;
infatti se f(x)=x, allora deltaf=deltax =(x+h) -x =h=deltax.
(b2)l'applicazione che porta da (h in R) a (f'(x)h in R)
Questa seconda applic. si chiama "differenziale della f(x) nel punto x" e si scrive:
df: h in R-->f'(x)h in R.
questa nuova applicazione e' lineare nel senso che il differenziale
di una combinazione lineare di due o piu' funzioni e' la combinazione
lineare dei differenziali delle funzioni componenti, secondo i medesimi coefficienti.
Infatti:
d(uf(x)+vg(x))=(uf(x)+vg(x))'*h=(uf'(x)+vg'(x))*h=u(f'(x)h)+v(g'(x)h)=udf(x)+vdg(x).
Ritornando ora alla (a2) si potra' ora scrivere,tenuto conto che si tratta tutte funzioni di h:
deltaf(h)=df(h)+o(|h|) da cui
deltaf(h)-df(h)= o(|h|) e ricordando che o(|h|) e' infinitesimo di ordine superiore rispetto ad h si ottiene il teorema finale.
karl.
Modificato da - karl il 01/01/2004 17:03:54
avevo detto).
Cerchero' di commentare il testo della prof.
Comincio dalla (1):
si ha identicamente
(a1) f(x+h)=f(x)+f'(x)h +f(x+h)-f(x)-f'(x)h
Se ora poniamo
o(|h|)=[f(x+h)-f(x)]-f'(x)h
otteniamo la funzione di h di cui si parla.
Inoltre o(|h|) e' infinitesimo di ordine superiore rispetto ad h
in quanto si ha lim(o(|h|)/h)=lim([f(x+h)-f(x)]/h-f'(x))=f'(x)-f'(x)=0.
Inoltre risulta da (a1):
(a2) f(x+h)-f(x)=f'(x)h+o(|h|)
A questo punto la prof. introduce due applicazioni di h in R:
(b1) l' applicazione ,incremento della funzione, deltaf:
deltaf:h in R--> f(x+h)-f(x) in R. (sarebbe il primo membro di (a2))
Questa prima applicazione ha la proprieta' che se f(x) e' la funzione
identica ,cioe' se f(x)=x,anche deltaf e' l'applicazione identica;
infatti se f(x)=x, allora deltaf=deltax =(x+h) -x =h=deltax.
(b2)l'applicazione che porta da (h in R) a (f'(x)h in R)
Questa seconda applic. si chiama "differenziale della f(x) nel punto x" e si scrive:
df: h in R-->f'(x)h in R.
questa nuova applicazione e' lineare nel senso che il differenziale
di una combinazione lineare di due o piu' funzioni e' la combinazione
lineare dei differenziali delle funzioni componenti, secondo i medesimi coefficienti.
Infatti:
d(uf(x)+vg(x))=(uf(x)+vg(x))'*h=(uf'(x)+vg'(x))*h=u(f'(x)h)+v(g'(x)h)=udf(x)+vdg(x).
Ritornando ora alla (a2) si potra' ora scrivere,tenuto conto che si tratta tutte funzioni di h:
deltaf(h)=df(h)+o(|h|) da cui
deltaf(h)-df(h)= o(|h|) e ricordando che o(|h|) e' infinitesimo di ordine superiore rispetto ad h si ottiene il teorema finale.
karl.
Modificato da - karl il 01/01/2004 17:03:54
Mi sembra di aver letto che il differenziale sta per "differenza infinitesimale" e originariamente era la differenza df(x)=f(x+dx)-f(x) per dx infinitesimo. Anche oggi con i numeri iperreali si torna a definire così per le funzioni anche solo continue. Inoltre, se f è derivabile, df(x)=f'(x)dx + o(dx), cioè il differenziale sbaglia il prodotto della derivata per l'incremento infinitesimo dx per un infinitesimo di ordine superiore a dx. Nel XiX secolo e fino al 1960, volendo bandire gli infinitesimi dalla matematica e non potendo più parlare di incrementi infinitesimi attuali, si è cambiato il significato di differenziale dando l'astrusa definizione di funzione lineare che in quel punto meglio approssima l'incremento della funzione quando questo tende a zero. In questo caso il coeffixciente della funzione lineare è la derivata! Mi chiedo: dal 1961, anno di pubblicazione del libro di Abraham Robinson, sono passati ormai 43 anni! Quanto dobbiamo aspettare ancora per far sparire le mostruosità dell'analisi epsilon-delta?
Cavia
Cavia
Forse Keplero avrebbe preferito qualche cosa di piu'
costruttivo al posto di una disamina dei fondamenti
dell'Analisi Infinitesimale!!.
Che ne dici Keplero?
karl.
costruttivo al posto di una disamina dei fondamenti
dell'Analisi Infinitesimale!!.
Che ne dici Keplero?
karl.
Vabbè evidentemente Cavia non intendeva rispondere a me... Perchè se così fosse non è riuscito nel suo intento!
Ok, vedrò di farmi perdonare cercando di rispondere con più chiarezza alla domanda di Keplero (di cui sono un grande ammiratore. Intendo di Johannes!).
Tu sai benissimo che cos'è una funzione lineare: è una funzione che esprime la proporzionalità diretta, cioè del tipo y=ax. Se x aumenta di 1 allora y aumenta di a; se x aumenta di 2 allora y aumenta di 2a, ecc. In generale y aumenta a volte più di x. Ok? Prendiamo ora una funzione qualsiasi, purchè derivabile. Deve quindi trattarsi di una funzione il cui grafico in ogni suo punto, visto al microscopio, sembra rettilineo, cioè una funzione il cui grafico ammette in ogni punto una retta tangente (con la quale appunto si confonde osservato al microscopio!). Il valore della derivata in un punto rappresenta proprio la pendenza della retta tangente. Supponiamo che la derivata nel punto x0 valga 3. Che cosa significa? Significa che se osservi il grafico con un forte ingrandimento esso si presenta come una retta di pendenza 3. Se, partendo da x0, aumenti la x di un pochino allora la y aumenta di 3 volte un pochino. Se aumenti xi di deltax allora y aumenta di 3 volte deltax. Ma questo non è esattamente vero: sarebbe vero se il grafico fosse esattamente rettilineo, ma così non è! Per valori piccolissimi di deltax la cosa è quasi vera, ma per valori non piccolissimi l'incremento della y è decisamente diverso dal triplo dell'incremento della x. Ecco allora che siamo arrivati!. Che cosè il differenziale di una funzione in un punto? Risposta: e la funzione lineare che meglio approssima il grafico della funzione in quel punto, prendendo quel punto come origine delle coordinate. Domanda: e che cosa significa "nel modo migliore!? Risposta: significa che è l'unica retta per la quale la differenza tra il suo incremento e quello della funzione diventa infinitamente più piccola della differenza in ascissa quando vai infinitamente vicino al punto in questione. Domanda: e quanto vale il coefficiente di proporzionalità di quella funzionelineare ottimale? Risposta: ovviamente è il valore della derivata in quel punto! Se y=f(x) è la funzione data allora il differenziale della funzione in x è la funzione lineare df(x)(h)=f'(x)h (si usa h come variabile perchè la x rappresenta il punto in questione e non si muove più, mentre h si muove a piacere). Quando h tende a zero allora la dufferenza (f(x+h)-f(x))-f'(x)h tende a zero anche rapportata a h!
Mah!
Cavia
Tu sai benissimo che cos'è una funzione lineare: è una funzione che esprime la proporzionalità diretta, cioè del tipo y=ax. Se x aumenta di 1 allora y aumenta di a; se x aumenta di 2 allora y aumenta di 2a, ecc. In generale y aumenta a volte più di x. Ok? Prendiamo ora una funzione qualsiasi, purchè derivabile. Deve quindi trattarsi di una funzione il cui grafico in ogni suo punto, visto al microscopio, sembra rettilineo, cioè una funzione il cui grafico ammette in ogni punto una retta tangente (con la quale appunto si confonde osservato al microscopio!). Il valore della derivata in un punto rappresenta proprio la pendenza della retta tangente. Supponiamo che la derivata nel punto x0 valga 3. Che cosa significa? Significa che se osservi il grafico con un forte ingrandimento esso si presenta come una retta di pendenza 3. Se, partendo da x0, aumenti la x di un pochino allora la y aumenta di 3 volte un pochino. Se aumenti xi di deltax allora y aumenta di 3 volte deltax. Ma questo non è esattamente vero: sarebbe vero se il grafico fosse esattamente rettilineo, ma così non è! Per valori piccolissimi di deltax la cosa è quasi vera, ma per valori non piccolissimi l'incremento della y è decisamente diverso dal triplo dell'incremento della x. Ecco allora che siamo arrivati!. Che cosè il differenziale di una funzione in un punto? Risposta: e la funzione lineare che meglio approssima il grafico della funzione in quel punto, prendendo quel punto come origine delle coordinate. Domanda: e che cosa significa "nel modo migliore!? Risposta: significa che è l'unica retta per la quale la differenza tra il suo incremento e quello della funzione diventa infinitamente più piccola della differenza in ascissa quando vai infinitamente vicino al punto in questione. Domanda: e quanto vale il coefficiente di proporzionalità di quella funzionelineare ottimale? Risposta: ovviamente è il valore della derivata in quel punto! Se y=f(x) è la funzione data allora il differenziale della funzione in x è la funzione lineare df(x)(h)=f'(x)h (si usa h come variabile perchè la x rappresenta il punto in questione e non si muove più, mentre h si muove a piacere). Quando h tende a zero allora la dufferenza (f(x+h)-f(x))-f'(x)h tende a zero anche rapportata a h!
Mah!
Cavia
Insomma, prova a fare quello che ti dico:
1. Disegna un grafico bello liscio (grafico di f(x))
2. Traccia la retta tangente nel punto (x,f(x))
3. Spostati di un po' (di h!) a partire dal punto x in questione
4. Misura l'incremento della funzione quando passi da x a x+h (e cioè l'incremento f(x+h)-f(x)!)
5. Misura l'incremento della funzione che ha per grafico la retta tangente (funzione differenziale di f nel punto x!) quando passi da x a x+h (troverai che vale f'(x)h e cioè la pendenza della retta tangente in x moltiplicata per h!)
6. I due incrementi sono diversi, anzi, se ti allontani parecchio da x possono arrivare ad essere diversissimi!
7. Se però h è molto piccolo (h tende a zero!) la differenza tra i due incrementi (e cioè (f(x+h)-f(x))-f'(x)h!!!) diventa piccolissima. Soprattutto, diventa piccolissima rispetto ad h!! E' un infinitesimo di ordine superiore ad h!!!
8. La funzione k=ah che ha per grafico la retta tangente al grafico di f in (x,f(x)) è il differenziale di f in x e il coefficiente di proporzionalità a vale semplicemente f'(x)!!!
9. In ogni punto x c'è una funzione di h che è il differenziale df. Dunque df, una volta fisasato x, è una funzione di h! Scriviamo df(x,h)=f'(x)h.
10. Riposati 10 minuti, che te lo sei meritato.
Esempio: f(x)=x^2
1. fisso x
2. considero una retta che passa per (x,f(x)), cioè per (x,x^2) con pendenza a. Come variabile indipendente uso h, perchè x è fissato! LA funzione lineare la chiamo poi df: df(h)=ah.
3. Ma non è giusto chiamarla df(h), perchè dipende anche da x! LA chiamiamo df(x,h)=ah.
4. Che valore prendiamo per a? Quallo migliore! Cioè quello che la rende indistinguibile, al tendere a zero di h, dalla variazione di f passando da x a h, e cioè dala differenza f(x+h)-f(x). Troviamo che il valore migliore di a, che dipenderà da x, è 2x (la derivata di x^2!).
5. Finalmente df(x,h)=2xh!!!!
6. Calcolo numerico: fissiamo x=2. Per h=1 si ha che f(x+h)-f(x)=f(2+1)-f(2)=3^2-2^2=9-4=5, mentre df(2,1)=(2*2)*1=4. Differenza sensibile! Per h=0.01 si ha che f(x+h)-f(x)=f(2+0.01)-f(2)=(2.01)^2-2^2=4.0401-4=0.0401, mentre df(2,0.01)=(2*2)*(0.01)=0.04. Differenza insignificante: 0.0001. Soprattutto, insignificante rispetto a h: 0.0001 è 100 volte più piccolo di h! Infatti è normale che la differenza diventi piccola, ma solo con la retta giusta diventa piccola anche rispetto a h, ed è ovvio che quella retta è quella con la stessa pendenza della retta tangente, cioè quella di pendenza f'(x)!
Mi arrendo!
Cavia
Cavia
1. Disegna un grafico bello liscio (grafico di f(x))
2. Traccia la retta tangente nel punto (x,f(x))
3. Spostati di un po' (di h!) a partire dal punto x in questione
4. Misura l'incremento della funzione quando passi da x a x+h (e cioè l'incremento f(x+h)-f(x)!)
5. Misura l'incremento della funzione che ha per grafico la retta tangente (funzione differenziale di f nel punto x!) quando passi da x a x+h (troverai che vale f'(x)h e cioè la pendenza della retta tangente in x moltiplicata per h!)
6. I due incrementi sono diversi, anzi, se ti allontani parecchio da x possono arrivare ad essere diversissimi!
7. Se però h è molto piccolo (h tende a zero!) la differenza tra i due incrementi (e cioè (f(x+h)-f(x))-f'(x)h!!!) diventa piccolissima. Soprattutto, diventa piccolissima rispetto ad h!! E' un infinitesimo di ordine superiore ad h!!!
8. La funzione k=ah che ha per grafico la retta tangente al grafico di f in (x,f(x)) è il differenziale di f in x e il coefficiente di proporzionalità a vale semplicemente f'(x)!!!
9. In ogni punto x c'è una funzione di h che è il differenziale df. Dunque df, una volta fisasato x, è una funzione di h! Scriviamo df(x,h)=f'(x)h.
10. Riposati 10 minuti, che te lo sei meritato.
Esempio: f(x)=x^2
1. fisso x
2. considero una retta che passa per (x,f(x)), cioè per (x,x^2) con pendenza a. Come variabile indipendente uso h, perchè x è fissato! LA funzione lineare la chiamo poi df: df(h)=ah.
3. Ma non è giusto chiamarla df(h), perchè dipende anche da x! LA chiamiamo df(x,h)=ah.
4. Che valore prendiamo per a? Quallo migliore! Cioè quello che la rende indistinguibile, al tendere a zero di h, dalla variazione di f passando da x a h, e cioè dala differenza f(x+h)-f(x). Troviamo che il valore migliore di a, che dipenderà da x, è 2x (la derivata di x^2!).
5. Finalmente df(x,h)=2xh!!!!
6. Calcolo numerico: fissiamo x=2. Per h=1 si ha che f(x+h)-f(x)=f(2+1)-f(2)=3^2-2^2=9-4=5, mentre df(2,1)=(2*2)*1=4. Differenza sensibile! Per h=0.01 si ha che f(x+h)-f(x)=f(2+0.01)-f(2)=(2.01)^2-2^2=4.0401-4=0.0401, mentre df(2,0.01)=(2*2)*(0.01)=0.04. Differenza insignificante: 0.0001. Soprattutto, insignificante rispetto a h: 0.0001 è 100 volte più piccolo di h! Infatti è normale che la differenza diventi piccola, ma solo con la retta giusta diventa piccola anche rispetto a h, ed è ovvio che quella retta è quella con la stessa pendenza della retta tangente, cioè quella di pendenza f'(x)!
Mi arrendo!
Cavia
Cavia
Visto il successo dei miei interventi aggiungo un'altro paragrafo alla mia spiegazione per Keplero. Prendiamo la funzione che ci dà l'area y di un cerchio noto il raggio x: y=f(x)=pi*x^2. Se incrementiamo il raggio x l'area y si incrementa pure, ma l'incremento dell'area NON è direttamente proporzionale all'incremento del raggio: se il raggio passa dal valore x al valore x+h, l'area passa dal valore f(x)=pi*x^2 aò valore f(x+h)=pi*(x+h)^2. L'incremento del raggio è h, mentre l'incremento dell'area è f(x+h)-f(x)=pi*(x+h)^2-pi*x^2=pi*(x^2+2xh+h^2-x^2)=pi*(2xh+h^2), che non è direttamente proporzionale ad h! Per piccoli valori di h l'icremento corrispondente dell'area del cerchi è però quasi direttamente proporzionale ad h: se immagino che il raggio del cerchio aumenti rimanendo fisso il centro, l'incremento dell'area è l'area di una corona circolare. Quando h è molto piccolo, la corona circolare è molto sottile e posso pensare di tagliarla e srotolarla senza deformarla troppo (quando h è grande dovrei deformarla terribilmente!). Ecco allora che l'area della corona è praticamente indistinguibile dall'area di un rettangolo di base la lunghezza della circonferenza di raggio x (cioè 2*pi*x) e altezza h, cioè 2*pi*xh, che è una funzione lineare in h una volta fissato x. Ma questa funzione lineare è appunto il differenziale di f in x! Infatti f'(x)=D(pi*x^2)=2*pi*x e df(x,h)=f'(x)h=2*pi*xh!!!!
Insomma, la tecnica del calcolo del differenziale fornusce uno strumento meccanico per trovare una funzione lineare che approssima gli incrementi di f con una funzione lineare negli incrementi di x. Nel caso del cerchio ci siamo arrivati con un ragionamento ingegnoso di tipo geometrico, ma il calcolo differenziale ci porta a ottenere automaticamente questo risultato!
Ho fatto forse un po' di confusione, ma ci ho messo tutta la mia buona volontà per aiutare Keplero. Del resto io non sono un prof!
Cavia
Insomma, la tecnica del calcolo del differenziale fornusce uno strumento meccanico per trovare una funzione lineare che approssima gli incrementi di f con una funzione lineare negli incrementi di x. Nel caso del cerchio ci siamo arrivati con un ragionamento ingegnoso di tipo geometrico, ma il calcolo differenziale ci porta a ottenere automaticamente questo risultato!
Ho fatto forse un po' di confusione, ma ci ho messo tutta la mia buona volontà per aiutare Keplero. Del resto io non sono un prof!
Cavia
Ciao Cavia! Ti ringrazio davvero moltissimo per il tuo intervento; davvero non avevi proprio bisogno di scusarti! Io ovviamente scherzavo! Comunque ora sono io a doverti fare le mie scuse per non averti risposto subito, in questi giorni ho gli esami (Fisica e Analisi) e così non sto tanto frequentando il sito... Grazie ancora a te a tutti gli utenti di questo forum gentili come te! La tua spiegazione senz'altro è completissima e mi è risultata assai gradita. Grazie ancora, ciao!
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