Differenziale
Ciao,
scusate la domanda (magari ne avranno fatte 1000 mila), ma non ho trovato una risposta esauriente. Ho cercato in rete esempi di funzioni (mappe?) (in una variabile) derivabili, ma non differenziabili e sinceramente non ne ho trovati.
Nella teoria a più variabili, se non ricordo male, si chiede che le derivate parziali esistano e siano continue, così ho provato con il classico esempio che si trova ovunque in rete:
$f(x) = x^2 sin(1/x)$ per $x != 0$ e $f(x) = 0$ per $x = 0$
La derivata in $0$ non è continua mi pare, tuttavia Wikipedia dice che la funzione è differenziabile perché
$lim_{\epsilon->0} \frac {\epsilon^2 sin(1/\epsilon) - 0} {\epsilon} = 0$
(https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_function)
anche se, in questo modo, non capisco come si possa definire il differenziale in 0... non mi sembra univocamente definito. Magari dico una cappellata.
Grazie.
scusate la domanda (magari ne avranno fatte 1000 mila), ma non ho trovato una risposta esauriente. Ho cercato in rete esempi di funzioni (mappe?) (in una variabile) derivabili, ma non differenziabili e sinceramente non ne ho trovati.
Nella teoria a più variabili, se non ricordo male, si chiede che le derivate parziali esistano e siano continue, così ho provato con il classico esempio che si trova ovunque in rete:
$f(x) = x^2 sin(1/x)$ per $x != 0$ e $f(x) = 0$ per $x = 0$
La derivata in $0$ non è continua mi pare, tuttavia Wikipedia dice che la funzione è differenziabile perché
$lim_{\epsilon->0} \frac {\epsilon^2 sin(1/\epsilon) - 0} {\epsilon} = 0$
(https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_function)
anche se, in questo modo, non capisco come si possa definire il differenziale in 0... non mi sembra univocamente definito. Magari dico una cappellata.
Grazie.
Risposte
In una variabile derivabilità e differenziabilità sono equivalenti.
Come non esiste la derivata? Il limite del rapporto incrementale è finito in $x=0$, quindi è proprio la definizione di derivabilità in $x=0$.
Come non esiste la derivata? Il limite del rapporto incrementale è finito in $x=0$, quindi è proprio la definizione di derivabilità in $x=0$.
Si scusa ho scritto di fretta, non volevo dire non esiste, ma non dovrebbe essere continua (o ri-sbaglio?). Correggo. Quindi anche se non è continua non importa ?
Nessun problema, tranquillo 
se puoi correggi anche l'esponente di $\epsilon$ nel limite.
La definizione di derivabilità non richiede la continuità, chiede soltanto che il limite del rapporto incrementale esista finito nel punto in cui si studia la derivabilità; quindi no, non serve. Forse ti confondi con le funzioni di classe $\mathcal{C}^1$, che sono le funzioni derivabili una volta con derivata prima continua.
se puoi correggi anche l'esponente di $\epsilon$ nel limite.La definizione di derivabilità non richiede la continuità, chiede soltanto che il limite del rapporto incrementale esista finito nel punto in cui si studia la derivabilità; quindi no, non serve. Forse ti confondi con le funzioni di classe $\mathcal{C}^1$, che sono le funzioni derivabili una volta con derivata prima continua.
Intanto buon natale.
Comunque la cosa che mi turba è che la derivata può essere discontinua, ma il differenziale dovrebbe essere un'approssimazione locale della funzione, ma se il differenziale è discontinuo allora che approssimazione orribile sto facendo?
Perché a più variabili si richiede che le derivate parziali siano continue, ma nel caso mono-dimensionale questa richiesta non c'è?
Comunque la cosa che mi turba è che la derivata può essere discontinua, ma il differenziale dovrebbe essere un'approssimazione locale della funzione, ma se il differenziale è discontinuo allora che approssimazione orribile sto facendo?
Perché a più variabili si richiede che le derivate parziali siano continue, ma nel caso mono-dimensionale questa richiesta non c'è?
"dRic":Buon Natale anche a te. Attenzione; lasciami ricordare la definizione, il differenziale di una funzione \(f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R\) nel punto \(x_0\in \mathbb R^n\) è la funzione lineare \(f'(x_0)\) che appare qui:
Intanto buon natale.
Comunque la cosa che mi turba è che la derivata può essere discontinua, ma il differenziale dovrebbe essere un'approssimazione locale della funzione, ma se il differenziale è discontinuo allora che approssimazione orribile sto facendo?
\[
f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)(h)+ O(h^2).\]
Ora, come funzione della \(h\), \(f'(x_0)\) è lineare ed ha, quindi, tutta la regolarità del mondo. E questo è vero in qualsiasi dimensione; in dimensione \(1\), \(f'(x_0)\) è semplicemente un numero reale.
Tu ti stai confondendo con la regolarità di \(f'\) come funzione di \(x_0\), che poi è la stessa cosa della regolarità delle derivate parziali \(x_0\mapsto \partial f/\partial x_j(x_0)\) Ma quella è completamente un'altra storia.
Perché a più variabili si richiede che le derivate parziali siano continue, ma nel caso mono-dimensionale questa richiesta non c'è?
Infatti questo non si richiede neanche nel caso di più variabili, si può sviluppare tutta la teoria richiedendo la sola differenziabilità senza la continuità delle derivate parziali. (E questo a volte introduce delle difficoltà; senza continuità delle derivate parziali seconde, esistono funzioni con la matrice Hessiana non simmetrica in qualche punto, ad esempio. Vale la pena di avere a che fare con queste difficoltà patologiche? Spesso, non vale la pena, ed è per questo che uno richiede direttamente che le derivate siano continue e non ci pensa più).
Grazie mille @dissonance per la chiarificazione. Stavo riprendendo questi concetti per approfondire un po' il significato delle mappe, ma analisi 2 la feci male e ho qualche lacuna. Comunque
Da quello che dici quindi deduco che a più variabili basta chiedere che le derivate parziali esistano nel punto in questione ? Perché io ero solito prendere come funzione derivabile-ma-non-differenziabile una funzione con le derivate parziali discontinue nel punto, ma se quello che mi dici è vero (sicuramente lo è!) allora avevo sbagliato tutto ? E allora che controesempio potrei adottare ?
Scusa le domanda banali
"dissonance":
Infatti questo non si richiede neanche nel caso di più variabili, si può sviluppare tutta la teoria richiedendo la sola differenziabilità senza la continuità delle derivate parziali.
Da quello che dici quindi deduco che a più variabili basta chiedere che le derivate parziali esistano nel punto in questione ? Perché io ero solito prendere come funzione derivabile-ma-non-differenziabile una funzione con le derivate parziali discontinue nel punto, ma se quello che mi dici è vero (sicuramente lo è!) allora avevo sbagliato tutto ? E allora che controesempio potrei adottare ?
Scusa le domanda banali
Esistono funzioni che sono derivabili ma non sono nemmeno continue. Considera quegli esempi lì. Fai una ricerca sul tuo libro di testo oppure sul forum; c'è un topic in cima "Controesempi in analisi", consultalo.
[ot](Io quel topic lo toglierei da lì e il tuo post conferma che serve a poco).[/ot]
[ot](Io quel topic lo toglierei da lì e il tuo post conferma che serve a poco).[/ot]
"dissonance":
Esistono funzioni che sono derivabili ma non sono nemmeno continue.
????
"otta96":
[quote="dissonance"]Esistono funzioni che sono derivabili ma non sono nemmeno continue.
????
[/quote]Si parla di funzioni di più variabili, ovviamente.
Trovare un esempio non è difficile.
Ah vabbè, si ok.
Non avevo capito che era in più variabili
Non avevo capito che era in più variabili
Grazie @dissonance, mi ero proprio dimenticato di queste funzioni. Ho trovato subito un paio di controesempi su internet (y)
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