Differenziabilità teoremi
Salve a tutti!
Tra poco ho un esame di analisi II e ho pensato che qualcuno qui potesse aiutarmi a capire alcune cose poco chiare,
per esempio la dimostrazione di questo teorema:
HP:
sia $ f:Asubecc(R)^n rarr cc(R) $ un campo scalare differenziabile in $ bar(x) in Int(A) $
cioè $ f(bar(x)+vec h)-f(bar(x))= df(vec h)+ o(||vec h||) $ dove per $df$ intendo il differenziale
allora si ha:
TH:
i) $ f $ continua in $ bar(x) $
ii) $ EE $ tutte le derivate parziali
iii) $ EE $ tutte le derivate direzionali $AA vecv in cc(R) ^n $ , $vecv !=0 $ $EE (delf)/(delvecv) (bar(x))$ e inoltre $df= (delf)/(delvecv) (bar(x))$
iv) (formula del gradiente) $df(vec h)= = (delf)/(delvecv) (bar(x))$
chi riesce a dimostrarmi con dei passaggi ben spiegati e in modo semplice ogni punto di questo teorema?
perchè io per il punto 1 avevo avuto l'idea di fare $AA vech=(x-x0,y-yo)$
$ lim_(x -> bar(x)) f(bar(x))+ df(vec h)+ o(||vec h||) $ e mostrare che era uguale alla funzione valutata in $bar(x)$
ma è la strada giusta?
per gli altri punti non ho veramente idea di come fare....
grazie a tutti, sono nuova di questo forum
Tra poco ho un esame di analisi II e ho pensato che qualcuno qui potesse aiutarmi a capire alcune cose poco chiare,
per esempio la dimostrazione di questo teorema:
HP:
sia $ f:Asubecc(R)^n rarr cc(R) $ un campo scalare differenziabile in $ bar(x) in Int(A) $
cioè $ f(bar(x)+vec h)-f(bar(x))= df(vec h)+ o(||vec h||) $ dove per $df$ intendo il differenziale
allora si ha:
TH:
i) $ f $ continua in $ bar(x) $
ii) $ EE $ tutte le derivate parziali
iii) $ EE $ tutte le derivate direzionali $AA vecv in cc(R) ^n $ , $vecv !=0 $ $EE (delf)/(delvecv) (bar(x))$ e inoltre $df= (delf)/(delvecv) (bar(x))$
iv) (formula del gradiente) $df(vec h)=
chi riesce a dimostrarmi con dei passaggi ben spiegati e in modo semplice ogni punto di questo teorema?
perchè io per il punto 1 avevo avuto l'idea di fare $AA vech=(x-x0,y-yo)$
$ lim_(x -> bar(x)) f(bar(x))+ df(vec h)+ o(||vec h||) $ e mostrare che era uguale alla funzione valutata in $bar(x)$
ma è la strada giusta?
per gli altri punti non ho veramente idea di come fare....
grazie a tutti, sono nuova di questo forum
Risposte
Ciao e benvenuta.
Per la dimostrazione del teorema basta sfogliare il tuo testo di Analisi II; non credo che sul foro ci sia qualcuno tanto masochista da trascrivere tutto sto popo' di roba...
(Se poi c'è, complimenti!)
Potresti cominciare tu a dirci dove trovi difficoltà? Quali passaggi della dimostrazione non ti sono chiari? Insomma, cosa ti turba?
Per la dimostrazione del teorema basta sfogliare il tuo testo di Analisi II; non credo che sul foro ci sia qualcuno tanto masochista da trascrivere tutto sto popo' di roba...
(Se poi c'è, complimenti!)
Potresti cominciare tu a dirci dove trovi difficoltà? Quali passaggi della dimostrazione non ti sono chiari? Insomma, cosa ti turba?
"gugo82":
Ciao e benvenuta.
Per la dimostrazione del teorema basta sfogliare il tuo testo di Analisi II; non credo che sul foro ci sia qualcuno tanto masochista da trascrivere tutto sto popo' di roba...
(Se poi c'è, complimenti!)
Potresti cominciare tu a dirci dove trovi difficoltà? Quali passaggi della dimostrazione non ti sono chiari? Insomma, cosa ti turba?
grazie per il benvenuto!
Il fatto è che sul mio libro di analisiII ci sono le dimostrazioni ma tra i vari passaggi mancano dei nessi logici che probabilmente da per scontato che io comprenda
ma non è così...
ho aggiunto dei dettagli su come pensavo di poter dimostrare il punto 1 ma non so se è la strada giusta...
Per la i), innanzitutto, sai cos'è il differenziale?
Cosa succede secondo te a [tex]$\text{d} f (\vec{h})$[/tex] quando [tex]$\lVert \vec{h} \rVert \to 0$[/tex]?
Per quanto riguarda la ii), prova di volta in volta a prendere [tex]$\vec{h}$[/tex] tra i vettori della base canonica.
Per quanto riguarda la iii) basta usare la definizione di derivata direzionale e l'ipotesi sull'incremento che si rappresenta come somma del differenziale e d'un termine d'ordine superiore.
Per la iv) basta lavorare con l'espressione dell'incremento in coordinate rispetto alla base canonica e ricordare che per ii) si ha [tex]$\text{d} f (\vec{e}_i) =\frac{\partial f}{\partial x_i}$[/tex] (qui [tex]$\vec{e}_i$[/tex] è l'[tex]$i$[/tex]-esimo vettore della base canonica).
Cosa succede secondo te a [tex]$\text{d} f (\vec{h})$[/tex] quando [tex]$\lVert \vec{h} \rVert \to 0$[/tex]?
Per quanto riguarda la ii), prova di volta in volta a prendere [tex]$\vec{h}$[/tex] tra i vettori della base canonica.
Per quanto riguarda la iii) basta usare la definizione di derivata direzionale e l'ipotesi sull'incremento che si rappresenta come somma del differenziale e d'un termine d'ordine superiore.
Per la iv) basta lavorare con l'espressione dell'incremento in coordinate rispetto alla base canonica e ricordare che per ii) si ha [tex]$\text{d} f (\vec{e}_i) =\frac{\partial f}{\partial x_i}$[/tex] (qui [tex]$\vec{e}_i$[/tex] è l'[tex]$i$[/tex]-esimo vettore della base canonica).
cioè è giusto per dimostrare il punto 1 fare: (nel caso $n=2$)
dato che $f$ è differenziabile in $bar(x)=(x0,y0)$ si ha che
$AA vech = (x-x0, y-y0)$ abbiamo che $f(bar(x)+h)-f(bar(x)) = df(vech) + o(||vech||)$ diventa
$f(x,y)=f(x0,y0)+df(x-x0,y-y0)+o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2))$
e quindi se una funzione è differenziabile fare
$ lim_(x0,y0) f(x,y) = lim_(x0,y0) f(x0,y0)+df(x-x0,y-y0)+o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2))$
e che quindi
$lim_(x0,y0) f(x0,y0)= f(x0,y0)$ $+$ $lim_(x0,y0) df(x-x0,y-y0) = 0$ $+$ $lim_(x0,y0) o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)) =0 $
che implica che
$lim_(x0,y0) f(x,y)= f(x0,y0)
e che quindi la funzione è continua ?
è giusto?
e se è giusto..
perchè
$lim_(x0,y0) df(x-x0,y-y0) = 0$
e perchè
$lim_(x0,y0) o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)) =0 $
??
dato che $f$ è differenziabile in $bar(x)=(x0,y0)$ si ha che
$AA vech = (x-x0, y-y0)$ abbiamo che $f(bar(x)+h)-f(bar(x)) = df(vech) + o(||vech||)$ diventa
$f(x,y)=f(x0,y0)+df(x-x0,y-y0)+o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2))$
e quindi se una funzione è differenziabile fare
$ lim_(x0,y0) f(x,y) = lim_(x0,y0) f(x0,y0)+df(x-x0,y-y0)+o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2))$
e che quindi
$lim_(x0,y0) f(x0,y0)= f(x0,y0)$ $+$ $lim_(x0,y0) df(x-x0,y-y0) = 0$ $+$ $lim_(x0,y0) o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)) =0 $
che implica che
$lim_(x0,y0) f(x,y)= f(x0,y0)
e che quindi la funzione è continua ?
è giusto?
e se è giusto..
perchè
$lim_(x0,y0) df(x-x0,y-y0) = 0$
e perchè
$lim_(x0,y0) o(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)) =0 $
??
"gugo82":
Per la i), innanzitutto, sai cos'è il differenziale?
Cosa succede secondo te a [tex]$\text{d} f (\vec{h})$[/tex] quando [tex]$\lVert \vec{h} \rVert \to 0$[/tex]?
Per quanto riguarda la ii), prova di volta in volta a prendere [tex]$\vec{h}$[/tex] tra i vettori della base canonica.
Per quanto riguarda la iii) basta usare la definizione di derivata direzionale e l'ipotesi sull'incremento che si rappresenta come somma del differenziale e d'un termine d'ordine superiore.
Per la iv) basta lavorare con l'espressione dell'incremento in coordinate rispetto alla base canonica e ricordare che per ii) si ha [tex]$\text{d} f (\vec{e}_i) =\frac{\partial f}{\partial x_i}$[/tex] (qui [tex]$\vec{e}_i$[/tex] è l'[tex]$i$[/tex]-esimo vettore della base canonica).
ok! ho capito!
mi rimane solo qualche piccolo dubbio, ma cose che posso risolvermi da sola..
grazie! sei riuscito con poche parole e farmi capire quello che 1000 formule e pagine su pagine di conti non sono riuscite a farmi capire (anzi mi hanno solo confusa)
Lieto d'esserti stato d'aiuto. 
Voglio provare ad abbozzare dimostrazioni semplici, alla fine non sono lunghe e neanche difficili:
NB. sembra lungo il post, ma è solo per i tanti spazi, se lo leggi è veloce!! fidati; non vorrei ti scoraggiassi da principio!
Quando dici che una funzione di due varibili è differenziabile in un punto, sostanzialmente, dici tre cose:
1) La funzione è continua nel punto.
2) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto e, lungo una direzione [tex]$\lambda$[/tex] valgono: [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Su dimostriamo queste chiacchiere (te le dimostro per due variabili, perché mi piace di più (:P) e per darti un idea chiara sui "nessi" che dici di non capire!) :
Tanto poi non dovresti avere troppe difficoltà a estenderle per [tex]$R^n$[/tex] (spero!)
Per tutte le dimostrazione prendiamo una funzione [tex]$f:A \subseteq R^2 \to R$[/tex] differenziabile in un punto [tex]$P_0 =(x_0,y_0)$[/tex]
1) La funzione è continua nel punto.
Per ipotesi la funzione è differenziabile in [tex]$P_0$[/tex], e questo equivale al dire che:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)-f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y_0) }{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} =0$[/tex]
Osserviamo che, per ovvie ragioni, il numeratore è un infinitesimo di ordine maggiore del denominatore, quindi ha senso la scrittura:
[tex]$f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) (x-x_0)-f_y(x_0,y_0) (y-y_0) = o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
portiamo un paio di termini al secondo membro:
[tex]$f(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex] (1)
Ora, a noi interessa dimostrare che la funzione [tex]$f$[/tex] sia continua in [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]; cioè dobbiamo provare (per la definizione sulla continuità in un punto) che [tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$[/tex]
Ma questo è vero; perché se consideriamo la [tex]$f(x,y)[/tex] appena calcolata (cioè la (1)), abbiamo:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}) = f(x_0,y_0)$[/tex]
Quindi la funzione è continua in [tex]$P_0 =(x_0,y_0)$[/tex]
_______
2) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto e, lungo una direzione [tex]$\lambda$[/tex] valgono: [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
Questa è la più tosta!
In aggiunta alle ipotesi, prima fatte, fisso un versore [tex]$\lambda = (\alpha, \beta)[/tex] [\alpha^2+\beta^2=1]
Per definizione di derivata direzionale lungo un versore, possiamo dire che:
[tex]$\frac{\delta f}{\delta \lambda} (P_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(P_0+t \lambda) - f(P_0)}{t}[/tex] (2)
Inoltre, poiché la funzione f è differenziabile in P_0, possiamo utilizzare la (1) della dimostrazione precedente:
[tex]$f(x,y) = f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
Ci conviene scriverla in forma puntuale, per alleggerire la notazione:
[tex]$f(P) = f_(P_0) + (\nabla f(P_0), P-P_0) + o (||P-P_0||)$[/tex]
Se, in particolare, prendo [tex]$P = P_0+t \lambda$[/tex], e sostituisco nella (2), ottengo:
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{f(P_0)+ (\nabla f(P_0), P-P_0) + o (||P-P_0||) - f(P_0)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{(\nabla f(P_0), P_0+t\lambda-P_0) + o (||P_0+t\lambda-P_0||)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{(\nabla f(P_0), t\lambda) + o (|t|)}{t} =$[/tex] ( vedi sotto*)
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda) + o (|t|)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda)}{t} + \frac{o(|t|)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda)}{t} + \lim_{t \to 0} \frac{o(|t|)}{t} =$[/tex]
Il primo limite:
[tex]$ \lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda)}{t} = (\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex] poiché le [tex]$t$[/tex] si semplificano.
Il secondo limite vale:
[tex]$ \lim_{t \to 0} \frac{o(|t|)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{o(|t|)}{|t|} \cdot \frac{|t|}{t} = 0$[/tex] [Ho semplicemente moltiplicato e diviso per [tex]$|t|$[/tex]]
Quindi morale della favola: il limite iniziale vale [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
____________________
Infine:
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Dimostrazione simile alla prima:
Poiché la funzione differenziabile nel punto:
[tex]$\lim_{(x,y) -> (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) (x-x_0)-f_y(x_0,y_0) (y-y_0) }{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} =0$[/tex]
Poichè si tratta del rapporto di due infinitesimi, che va a [tex]$0$[/tex], significa che il numeratore è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto al denominatore, cioè:
[tex]$f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) (x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0) = o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
[tex]$f(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
Cioè [tex]f(x,y)[/tex] può essere così approssimato:
[tex]$f(x,y) \sim \ f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) $[/tex]
Quella che sta al secondo membro, se ci fai caso, è proprio l'equazione del piano tangente nel punto di coordinate [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]
Ciao bella!
_____________________
(*)
[tex]$||P-P_0|| = ||P+t \lambda -P_0|| = \sqrt{t^2(\alpha^2+\beta^2)} = |t|$[/tex]
NB. sembra lungo il post, ma è solo per i tanti spazi, se lo leggi è veloce!! fidati; non vorrei ti scoraggiassi da principio!
Quando dici che una funzione di due varibili è differenziabile in un punto, sostanzialmente, dici tre cose:
1) La funzione è continua nel punto.
2) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto e, lungo una direzione [tex]$\lambda$[/tex] valgono: [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Su dimostriamo queste chiacchiere (te le dimostro per due variabili, perché mi piace di più (:P) e per darti un idea chiara sui "nessi" che dici di non capire!) :
Tanto poi non dovresti avere troppe difficoltà a estenderle per [tex]$R^n$[/tex] (spero!)
Per tutte le dimostrazione prendiamo una funzione [tex]$f:A \subseteq R^2 \to R$[/tex] differenziabile in un punto [tex]$P_0 =(x_0,y_0)$[/tex]
1) La funzione è continua nel punto.
Per ipotesi la funzione è differenziabile in [tex]$P_0$[/tex], e questo equivale al dire che:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)-f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y_0) }{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} =0$[/tex]
Osserviamo che, per ovvie ragioni, il numeratore è un infinitesimo di ordine maggiore del denominatore, quindi ha senso la scrittura:
[tex]$f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) (x-x_0)-f_y(x_0,y_0) (y-y_0) = o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
portiamo un paio di termini al secondo membro:
[tex]$f(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex] (1)
Ora, a noi interessa dimostrare che la funzione [tex]$f$[/tex] sia continua in [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]; cioè dobbiamo provare (per la definizione sulla continuità in un punto) che [tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$[/tex]
Ma questo è vero; perché se consideriamo la [tex]$f(x,y)[/tex] appena calcolata (cioè la (1)), abbiamo:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}) = f(x_0,y_0)$[/tex]
Quindi la funzione è continua in [tex]$P_0 =(x_0,y_0)$[/tex]
_______
2) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto e, lungo una direzione [tex]$\lambda$[/tex] valgono: [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
Questa è la più tosta!
In aggiunta alle ipotesi, prima fatte, fisso un versore [tex]$\lambda = (\alpha, \beta)[/tex] [\alpha^2+\beta^2=1]
Per definizione di derivata direzionale lungo un versore, possiamo dire che:
[tex]$\frac{\delta f}{\delta \lambda} (P_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(P_0+t \lambda) - f(P_0)}{t}[/tex] (2)
Inoltre, poiché la funzione f è differenziabile in P_0, possiamo utilizzare la (1) della dimostrazione precedente:
[tex]$f(x,y) = f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
Ci conviene scriverla in forma puntuale, per alleggerire la notazione:
[tex]$f(P) = f_(P_0) + (\nabla f(P_0), P-P_0) + o (||P-P_0||)$[/tex]
Se, in particolare, prendo [tex]$P = P_0+t \lambda$[/tex], e sostituisco nella (2), ottengo:
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{f(P_0)+ (\nabla f(P_0), P-P_0) + o (||P-P_0||) - f(P_0)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{(\nabla f(P_0), P_0+t\lambda-P_0) + o (||P_0+t\lambda-P_0||)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{(\nabla f(P_0), t\lambda) + o (|t|)}{t} =$[/tex] ( vedi sotto*)
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda) + o (|t|)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda)}{t} + \frac{o(|t|)}{t} =$[/tex]
[tex]$\lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda)}{t} + \lim_{t \to 0} \frac{o(|t|)}{t} =$[/tex]
Il primo limite:
[tex]$ \lim_{t \to 0} \frac{ t (\nabla f(P_0), \lambda)}{t} = (\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex] poiché le [tex]$t$[/tex] si semplificano.
Il secondo limite vale:
[tex]$ \lim_{t \to 0} \frac{o(|t|)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{o(|t|)}{|t|} \cdot \frac{|t|}{t} = 0$[/tex] [Ho semplicemente moltiplicato e diviso per [tex]$|t|$[/tex]]
Quindi morale della favola: il limite iniziale vale [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
____________________
Infine:
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Dimostrazione simile alla prima:
Poiché la funzione differenziabile nel punto:
[tex]$\lim_{(x,y) -> (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) (x-x_0)-f_y(x_0,y_0) (y-y_0) }{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} =0$[/tex]
Poichè si tratta del rapporto di due infinitesimi, che va a [tex]$0$[/tex], significa che il numeratore è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto al denominatore, cioè:
[tex]$f(x,y)- f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0) (x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0) = o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
[tex]$f(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$[/tex]
Cioè [tex]f(x,y)[/tex] può essere così approssimato:
[tex]$f(x,y) \sim \ f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0) $[/tex]
Quella che sta al secondo membro, se ci fai caso, è proprio l'equazione del piano tangente nel punto di coordinate [tex]$(x_0,y_0)$[/tex]
Ciao bella!
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(*)
[tex]$||P-P_0|| = ||P+t \lambda -P_0|| = \sqrt{t^2(\alpha^2+\beta^2)} = |t|$[/tex]
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