Differenziabilità nel punto

[Giambus1]

Salve a tutti, sto affrontando gli esercizi sulla continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni a due variabili.
Il mio dubbio riguarda la differenziabilità.
Se ho una funzione f(x,y) su tutto il dominio tranne in (x,y)=(0,0) dove vale zero, se calcolo attraverso la definizione di derivate parziale il limite in (x,y)=(0,0) e ottengo un valore finito perché non posso concludere che è anche differenziabile per il teorema del differenziale totale?
Ho infatti visto in alcuni esercizi risolti che usano il limite del differenziale nel punto (x,y)=(0,0).
Cosa sbaglio?
Vi ringrazio.

[donald_zeka]

Cosa dice il teorema del differenziale totale?

[Giambus1]

Che se una funzione f:Df-->R è continua e derivabile in un intorno di x0 appartenente a Df, allora è differenziabile nel punto.

[donald_zeka]

No, non basta solo essere derivabile. Rileggi meglio questo teorema

[Giambus1]

Mi sfugge anche la condizione della loro esistenza?
Grazie.

[donald_zeka]

No, la funzione deve essere derivabile con continuità

[Giambus1]

E' vero, avevo interpretato la continuità riferita alla funzione di partenza.
Quindi anche se esistono derivate parziali nel punto, devo verificare che queste siano continue prima di dire che la funzione è differenziabile nel punto?
Usare il limite del differenziale equivale a fare ciò?
Grazie.

[donald_zeka]

Si, devi verificare prima che le derivate siano continue nel punto considerato.
No, quello che intendi con "fare il limite del differenziale" non ha nulla a che fare con il teorema di sopra, in quel caso si sta solo applicando la definizione di differenziabilità.

[Giambus1]

Capito . Ti ringrazio.
Una cosa; per verificare la continuità della derivata mi basta fare il limite per "i vari percorsi" e verificare che rimanga uguale il risultato?

[donald_zeka]

No, quello serve per sapere se la derivata esiste, per vedere se è continua devi verificare la continuità della funzione derivata, ossia verificare che il limite della funzione derivata in quel punto coincide con la derivata in quel punto.

[dissonance]

Probabilmente "il limite per i vari percorsi" che dice Giambus è una maniera di dire "verificare se il limite esiste". E qui bisognerebbe avere fatto bene i limiti per sapere che NON è sufficiente che esistano tutti i limiti unidimensionali e siano uguali affinché esista il limite multidimensionale. Quella di restringersi ai percorsi unidimensionali è solo una tecnica per dimostrare che un limite non esiste.

@Giambus: Si vede che non hai studiato seriamente la teoria. Se vorrai dedicarti a qualcosa in cui la matematica serve, questa sarà una lacuna. Decidi tu se è il caso di colmarla.