Differenziabilità nel punto

[ducajack]

Ho un esercizio e devo verificare se la funzione f(x,y)= { (sin(x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2) per (x,y)diversi(0,0)} , {0 per (x,y) = 0}
se essa in (0,0) è: continua, derivabile e differenziabile.

Per la continuità la definizione di limite per x->x0, per la derivabilità calcolo le derivate parziali con la definizione(limite rapporto incrementale) e per la differenziabilità uso la definizione(sempre il limite esteso), a me risulta continua, derivabile e differenziabile, mentre la risposta del quesito è "Continua ma non derivabile". A me i limiti tornano tutti 0, per questo la ritengo differenziabile, dove sbaglio?

[bosmer-votailprof]

Ma no la risposta sarà continua ma non differenziabile...
O per non derivabile intende che le derivate non sono continue nell'origine, che è vero.

Perché la continuità è banale, coordinate polari ed è fatta.

Se calcoli le derivate parziali in $(0,0)$ hai da risolvere ad esempio per $y$ :
$$
f_y(0,0)=\lim_{y\to 0} \frac{\sin(y^2)}{y^2}=1
$$

quindi $\nabla_f(0,0)=(1,1)$ dunque esistono le derivate parziali nell'origine e valgono entrambe $1$ ,
se però ti calcoli le derivate parziali con le regole del calcolo e fai il limite nell'origine ottieni $0$ quindi la derivata non è continua nell'origine, perché il valore della derivata non corrisponde con il limite.

A questo punto calcoli il limitone
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin(x^2 +y^2)-(x+y)}{x^2+y^2}
$$
dove ho già sostituito la norma a denominatore con quella euclidea per evidente comodità.
Come puoi notare già sul percorso $y=0$ il limite non esiste oppure tende a più infinito se al posto del limite nudo e crudo stai calcolando il limite del modulo, ma la sostanza è la stessa.

Quindi la funzione è continua, non differenziabile, con derivate parziali discontinue nell'origine.