Differenziabilità: informazioni su modus operandi
Salve ragazzi.
Nel caso in cui un esercizio mi chieda di dover studiare la differenziabilità (senza chiedermi della derivabilità) di una funzione devo dimostrare sempre l'esistenza e la continuità delle derivate parziali oppure posso applicare direttamente la definizione?
Es:
$ { ( f(x)=(x^3y+xy^3)/(x^2+y^2) if (x,y)!=(0,0) ),(0 if (x,y)=(0,0) ):} $
posso andare direttamente di definizione?
Nel caso in cui un esercizio mi chieda di dover studiare la differenziabilità (senza chiedermi della derivabilità) di una funzione devo dimostrare sempre l'esistenza e la continuità delle derivate parziali oppure posso applicare direttamente la definizione?
Es:
$ { ( f(x)=(x^3y+xy^3)/(x^2+y^2) if (x,y)!=(0,0) ),(0 if (x,y)=(0,0) ):} $
posso andare direttamente di definizione?
Risposte
Certo che puoi... Anzi devi.
Perché allora negli esercizi guidati si ostinano a fare tutti i passaggi? D:
Perché nei casi più semplici aiuta.
Ad esempio, nella tua funzione si può semplificare ed ottenere una roba che è $C^oo$ "ad occhio".
Ad esempio, nella tua funzione si può semplificare ed ottenere una roba che è $C^oo$ "ad occhio".
Altra domanda, se dal limite del rapporto incrementale mi esce che le derivate in quel punto abbiano un valore finito, ad esempio 0, ciò mi permette di dire che la derivata in quel punto è continua?
No.
Già non accade per funzioni di una variabile, figurati per funzioni di più variabili.
Già non accade per funzioni di una variabile, figurati per funzioni di più variabili.
Allora ti faccio quest'esempio:
Devo verificare la differenziabilità della funzione:
$ { ( (x^2y^3)/(x^4+y^4) if (x,y)=(0,0) ),( 0 if (x,y)=(0,0) ):} $
Beh, proseguo secondo le linee guida, vedo prima la derivabilità:
considero prima $ x->(x,0) $ poi $ y->(0,y) $
$ lim_(h ->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0=lim_(h->0)(f(0,h)-f(,0,0))/h $
Facendo i conti ho che entrambe le derivate parziali in quel punto esistono e hanno valore 0, ora l'esercizio passa direttamente all'uso della definizione. La mia domanda è: fa questo passaggio perché se altrimenti non fossero derivabili nel punto per il Teorema del Differenziale sarebbe inutile vedere la differenziabilità?
Lo so sto facendo un mucchio di domande che fa sembrare che studi poco, in realtà sono in ansia ed in fase ansia si chiede tutto.
Devo verificare la differenziabilità della funzione:
$ { ( (x^2y^3)/(x^4+y^4) if (x,y)=(0,0) ),( 0 if (x,y)=(0,0) ):} $
Beh, proseguo secondo le linee guida, vedo prima la derivabilità:
considero prima $ x->(x,0) $ poi $ y->(0,y) $
$ lim_(h ->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0=lim_(h->0)(f(0,h)-f(,0,0))/h $
Facendo i conti ho che entrambe le derivate parziali in quel punto esistono e hanno valore 0, ora l'esercizio passa direttamente all'uso della definizione. La mia domanda è: fa questo passaggio perché se altrimenti non fossero derivabili nel punto per il Teorema del Differenziale sarebbe inutile vedere la differenziabilità?
Lo so sto facendo un mucchio di domande che fa sembrare che studi poco, in realtà sono in ansia ed in fase ansia si chiede tutto.
Le derivate parziali si calcolano (con la definizione) per due motivi:
[*:lx7pb2mp] come controllo: infatti, se almeno una delle due non esiste nel punto in esame, la funzione non può essere differenziabile in tale punto;
[/*:m:lx7pb2mp]
[*:lx7pb2mp] per dimostrare la differenziabilità sfruttando la definizione: infatti, usualmente, si dice che una funzione $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$ se e solo se essa è ivi derivabile (rispetto alle due variabili da cui dipende) e risulta:
\[
\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)\ h - f_y(x_0,y_0)\ k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0\;.
\][/*:m:lx7pb2mp][/list:u:lx7pb2mp]
Grazie, gentilissimo
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