Differenziabilità in un punto
Salve a tutti sapete come svolgere tale esercizio? non i calcoli ma la teoria cosa devo usare. Grazie
L'esercizio è $f(x,y)=1+ root(3)(y(x+1)^2)$ nel punto P = (1,0)
suggerimento: si calcoli le derivate direzionali rispetto a un versore v=(A,B) non nullo
L'esercizio è $f(x,y)=1+ root(3)(y(x+1)^2)$ nel punto P = (1,0)
suggerimento: si calcoli le derivate direzionali rispetto a un versore v=(A,B) non nullo
Risposte
Ci sono un po' di condizioni necessarie alla differenziabilità, hai provato a verificarle?
"starbike":
Salve a tutti sapete come svolgere tale esercizio? non i calcoli ma la teoria cosa devo usare. Grazie
L'esercizio è $f(x,y)=1+ root(3)(y(x+1)^2)$ nel punto P = (1,0)
suggerimento: si calcoli le derivate direzionali rispetto a un versore v=(A,B) non nullo
Basta usare la definizione di derivata direzionale...
E quindi se esiste la derivata direzionale per v=(A,B) e differenziabile? Per quale teorema?
Scusate ma se sono sicura che in un punto esistono tutte le derivate direzionali allora e differenziabile?
Che succede calcolando le derivate direzionali con la definizione? Quali consegunze puoi trarne?
Insomma, prova almeno a fare i conti prima di preoccuparti del resto...
Insomma, prova almeno a fare i conti prima di preoccuparti del resto...
E' 0 per ogni v quindi è differenziabile...potreste darmi la risposta ho l'orale domani mattina...
Grazie XD
Grazie XD
Hai scoperto che $f'(1,0)[v]$ è l'applicazione lineare nulla e prende il nome di differenziale di Gateaux di $f$ nel punto $(1,0)$. Una funzione $f$ siffatta si dice differenziabile secondo Gateaux nel punto $(1,0)$.
Tuttavia la differenziabilità secondo Gateaux è più debole della differenziabilità (non implica nemmeno la continuità della funzione). Devi fare un'indagine ulteriore: come ti ho scritto nell'altro thread devi verificare che valga la fomula di approssimazione lineare:
\[ f((1,0) + v) = f(1,0) + f'(1,0)[v] + o(||v||) \;\;,\;\; v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \]
ed essendo il differenziale di Gateaux $f'(1,0)[v]$ l'applicazione lineare nulla, la formula diventa:
\[ f((1,0) + v) = f(1,0) + o(||v||) \;\;,\;\; v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \]
Se questa formula sussiste, cioè se $\lim_(v \to (0,0)) (f((1,0) + v) - f(1,0))/(||v||) = 0$, allora potrai dire che $f$ è differenziabile nel punto $(1,0)$.
EDIT: Fermo restando che non ho fatto i conti (vd. il post di gugo82 che segue).
Tuttavia la differenziabilità secondo Gateaux è più debole della differenziabilità (non implica nemmeno la continuità della funzione). Devi fare un'indagine ulteriore: come ti ho scritto nell'altro thread devi verificare che valga la fomula di approssimazione lineare:
\[ f((1,0) + v) = f(1,0) + f'(1,0)[v] + o(||v||) \;\;,\;\; v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \]
ed essendo il differenziale di Gateaux $f'(1,0)[v]$ l'applicazione lineare nulla, la formula diventa:
\[ f((1,0) + v) = f(1,0) + o(||v||) \;\;,\;\; v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \]
Se questa formula sussiste, cioè se $\lim_(v \to (0,0)) (f((1,0) + v) - f(1,0))/(||v||) = 0$, allora potrai dire che $f$ è differenziabile nel punto $(1,0)$.
EDIT: Fermo restando che non ho fatto i conti (vd. il post di gugo82 che segue).
"starbike":
E' 0 per ogni v quindi è differenziabile...
Ma come viene zero?
Prendiamo un versore \(\mathbf{v} =(\alpha ,\beta)\) (sicché \(\alpha^2+\beta^2=1\)) e calcoliamo la derivata direzionale in \((1,0)\) lungo la direzione \(\mathbf{v}\) usando la definizione, ossia studiamo il limite:
\[
\begin{split}
\lim_{t\to 0} \frac{f(1+\alpha\ t,\beta\ t) -f(1,0)}{t} &= \lim_{t\to 0} \frac{\sqrt[3]{\beta\ t\ (2+\alpha\ t)^2}}{t}\\
&= \lim_{t\to 0} \sqrt[3]{\beta\ (2+\alpha\ t)^2}\ \frac{\sqrt[3]{t}}{t}\; ;
\end{split}
\]
si vede che il limite all'ultimo membro non esiste appena \(\beta\neq 0\), mentre è nullo se \(\beta=0\).
Pertanto la tua funzione non è derivabile lungo alcuna direzione nel punto \((1,0)\) diversa da quella dell'asse \(x\), dunque...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo