Differenziabilità in un intervallo.
Salve a tutti. Ho trovato un esercizio che mi chiede di studiare la differenziabilità di una funzione $((cos(x+y)-1)/(x+y)^2)y $ se x è diverso da y e vale $(-1/2)y$ se x+y=0.
Ho verificato che è continua, ho calcolato le derivate parziali e queste non sono continue. Non mi resta che applicare la definizione di differenziabilità . La mia domanda è : qual è il punto x zero, y zero che devo sostituire nella definizione? ma soprattutto perché quello e non un altro?
Ho verificato che è continua, ho calcolato le derivate parziali e queste non sono continue. Non mi resta che applicare la definizione di differenziabilità . La mia domanda è : qual è il punto x zero, y zero che devo sostituire nella definizione? ma soprattutto perché quello e non un altro?
Risposte
Cosa vuoi dire con $(x_0, y_0)$ da sostituire?
quando voglio sapere se la funzione è differenziabile in un punto applico la condizione di differenziabilità in quel punto di coordinate $(x0,y0)$ però l'esercizio non chiede la differenziabilità in un punto ma in tutto R^2 e io conosco la condizione per il singolo punto.
Qual è la condizione per il singolo punto?
$lim (x,y)->(x0,y0) (f(x,y)- f(x0,y0)- Df/dx (x0,y0) - Df/dy (x0,y0))/(x^2+y^2)^(1/2)=0$
Devi per forza esplicitarli o riesci a trovare il differenziale senza sostituire?
Prova a mostrarmi come lo faresti per la tua funzione
Prova a mostrarmi come lo faresti per la tua funzione
Ti consiglierei innanzitutto di individuare quali sono i punti del piano per i quali è significativo porsi il problema della differenziabilità. Ti accorgerai da solo che essi sono di una forma particolare, e poi potrai sviluppare il limite per il generico punto di quella forma.
io mi porrei il problema solo per il punto (0,0) perché è fuori dal campo di esistenza della funzione o no?
$x+y=0$ solo in $(0,0)$?
A me sembra che la funzione sia definita nell'origine invece...i punti seccanti sono quelli della bisettrice del secondo e quarto quadrante.
P.S. Ma com'è definita la funzione? $-1/2y$ se $x+y=0$, e $({cos(x+y)-1}/{(x+y)^2})y$ se ... ???
P.S. Ma com'è definita la funzione? $-1/2y$ se $x+y=0$, e $({cos(x+y)-1}/{(x+y)^2})y$ se ... ???
per tutti i punti (x,-x)
quindi devo sostituire nella condizione di differenziabilità il valore che la funzione e le sue derivate assumono in (x,-x)?
Il problema grosso secondo me è che non riesce a definire il differenziale senza esplicitare il punto in cui lo calcola, per questo gli avevo chiesto di provare a scriverlo!
Riesci a scrivere il differenziale in un punto generico?
Riesci a scrivere il differenziale in un punto generico?
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