Differenziabilità in campo complesso

[giammarco.cugliari]

Ciao!
Non riesco a capire perchè la funzione di variabile complessa

$ g(z)=e^(-1/z^2) $

non è differenziabile nel punto $z=0$ , io ho provato in questo modo

$ g(z)=e^(-1/z^2)=exp(-1/(x+iy)^2)=exp(-1/(x^2-y^2+2ixy)) $

ora vorrei dividere la funzione nella sua parte reale e parte immaginaria per applicare le condizioni di Cauchy-Riemann ma non riesco a farlo.
Grazie per l'aiuto!

[dissonance]

Non è neanche continua in $z=0$, prova a dimostrare questo che è parecchio più facile. Si tratta essenzialmente di una funzione di due variabili reali, ricordati che ti basta trovare due rette passanti per l'origine tali che la restrizione della funzione a ciascuna delle due rette abbia un comportamento differente.

[giammarco.cugliari]

Ho pensato di passare alle coordinate polari , in questo modo si ha :

$z=re^(itheta) $ e dunque

$f(re^(itheta))=e^(-1/r^2cos2theta)e^(i/r^2sin2theta) $

passando al modulo
$ |f(re^(itheta))|=e^(-1/r^2cos2theta) $ ,quindi il limite

$ lim_(r -> 0) e^(-1/r^2cos2theta) $

dipende dal segno di $cos2theta$ e si può concludere che la funzione non è continua.Che ne pensi?

Passando al tuo suggerimento , ho provato con qualche restrizione , per esempio $y=x$
$ g(x+ix)=exp(-1/(x+ix)^2)=exp(-1/(2ix^2)) $

e y=-x

$ g(x-ix)=exp(-1/(x-ix)^2)=exp(1/(2ix^2)) $

e prendendo i limiti ottengo un comportamento differente, è corretto il ragionamento?

Grazie per l'aiuto.

[gugo82]

In maniera ancora più sbrigativa (che però presuppone anche la conoscenza degli sviluppi di Laurent e la classificazione delle singolarità), la tua funzione non è continua in $0$ poiché il suo sviluppo in serie di Laurent intorno a $0$ è:
\[
e^{-1/z^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\ \frac{1}{z^{2n}}
\]
sicché $0$ è un punto di singolarità essenziale per la funzione.

[giammarco.cugliari]

Si può comunque sia ragionare in quel modo per una dimostrazione un po meno sbrigativa?
Comunque poi mi si chiede di determinare i coefficenti dello sviluppo di Laurent centrato in $z=0$
$c_n$ da $ -6<=n<=2 $ e quindi sviluppando in serie la cosa è immediata.

Di seguito mi si chiede di considerare lo sviluppo di Laurent intorno a $z_0=2$ della funzione

$ f(z)=zexp(-1/z^2) $

nella prima regione con $ 0<|z-2|<2 $
$c_1=0$
$ c_0=2e^(-1/4 $
$ c_1=lim_(z -> 2) d/dzf(z) $

Per quanto riguarda la seconda regione $|z-2|>2 $
invece ho qualche dubbio,i coefficenti $c_n$ sono dati da

$ c_n=1/(2pii)oint_(gamma) f(z)/(z-2)^(n+1)dz $

con $gamma$ circonferenza di raggio maggiore di 2 centrata in $z_0=2$ , e quindi

$ c_-1=1/(2pii)oint_(gamma) zexp(-1/z^2)dz=Res(zexp(-1/z^2)) $ quindi prendendo lo sviluppo :

$ z(1-1/z^2+...)=z-1/z+... $ si ha che

$ c_-1=-1 $
$ c_0=1/(2pii)oint_(gamma) zexp(-1/z^2)/(z-2)dz=2e^(-1/4)+Res(zexp(-1/z^2)/(z-2))|_(z=0) $

Come calcolo questa quantità $Res(zexp(-1/z^2)/(z-2))|_(z=0) $ ?

[dissonance]

Secondo me è \(+\frac12\). Infatti il termine \(\frac 1{z-2}\) non è singolare in \(0\) e l'unica cosa che fa è moltiplicare il tutto per \(-\frac12\), mentre il termine \(z\exp\left( \frac{-1}{z^2}\right)\) ha residuo \(-1\), come si vede dallo sviluppo che ha scritto Gugo prima.

[giammarco.cugliari]

Ti ringrazio !

Un' ultima cosa , pensi che i ragionamenti che ho fatto prima sulla continuità della funzione ,
sia per le coordinate polari , sia per le restrizione come mi hai consigliato ,siano corretti?

[dissonance]

Si mi sembrano corretti. Più velocemente potevi dire che per $z=x$ e $z=iy$ trovi due funzioni a valori reali, una che tende a $0$ e l'altra a $+\infty$ quando $x\to 0$ e $y\to 0$ rispettivamente. Ma è sempre la stessa idea che hai usato anche tu