Differenziabilità in (0,0)

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6 set 2007, 14:05

Ciao a tutti, stamani nell'esame di Analisi 2 ho trovato una funzione definita come segue di cui dovevo dire se era differenziabile o meno nell'origine.
A me risulta non differenziabile in (0,0), però qualcuno mi ha detto che lo era e la cosa mi ha un po turbato.
Sapendo che tutti i calcoli che ho fatto credo (e sono ancora convinto che siano giusti) mi rimetto alla vostra illustre opinione.
Potete darci un'occhiata?
Grazie in anticipo.

La funzione è:
${(xy + (yx^2)/(x^2+y^2), se (x,y)!=(0,0)),(0, se (x,y)=(0,0)) :}

Risposte

Luca.Lussardi

6 set 2007, 13:45

Anche a me risulta non differenziabile in $(0,0)$.

Sk_Anonymous

6 set 2007, 14:26

In…

https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... c&start=20

… si trova la seguente definizione…

Sia $f(x,y)$ definita in un intorno $A$ del punto $(x_0,y_0)$ e si incrementino $x_0$ e $y_0$ rispettivamente di $h$ e $k$. Consideriamo l’incremento corrispondente della funzione…

$delta f = f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)$ (1)

Posto…

$rho=h^2+k^2$

... se vale la relazione…

$delta f=p*h+q*k+rho*epsilon(rho)$ (2)

… ove $p$ e $q$ non dipendono da $h$ e $k$ ed $epsilon(rho)$ è infinitesimo con $ρ$, allora $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$

La funzione sotto esame è la seguente…

$f(x,y)={(xy + (yx^2)/(x^2+y^2), se (x,y)!=(0,0)),(0, se (x,y)=(0,0)) :}$ (3)

Andando a calcolare l’incremento della (1) in $(0,0)$ si trova…

$delta f = f(h,k)-f(0,0) = h*k+ (k*h^2)/(h^2+k^2) (4)

Ponendo $h=rho*cos theta$, $k=rho*sin theta$, si trova che è…

$delta f = 0*h+0*k+rho*(rho*sin theta*cos theta+ sin theta* cos^2 theta)$ (5)

Confrontando la (5) con la (2) si trova…

$epsilon(rho)=rho*sin theta*cos theta+ sin theta*cos^2 theta$ (6)

… e quindi $epsilon$ non è infinitesimo con $rho$. Di conseguenza la (3) non è differenziabile in $(0,0)$…

cordiali saluti

lupo grigio