Differenziabilità in (0,0)
buonasera,
Pongo questo problema di differenziabilità nel punto (0,0):
$ f(x,y) := { ( (sin^4 x+y^4)/(x^2+ y^2), ", se " (x,y) != ( 0,0 )), ( 0 , ", se " (x,y) = ( 0,0 )):} $
Il primo passaggio è stato quello di verificare la continuità della funzione nel punto $(0,0)$ facendo i limiti con il metodo delle restrizioni a rette.
Ho trovato per $x=0$ il risultato $0$ e per $y=0$ il risultato $0$.
Anche ponendo y=mx il risultato del limite mi viene 0. Anche con il passaggio a coordinate polari mi viene 0.
Posso affermare che la funzione è continua e procedere con la differenziabilità?
Nel caso avessi sbagliato(molto probabile) potresti aiutarmi con la risoluzione?
Grazie
Pongo questo problema di differenziabilità nel punto (0,0):
$ f(x,y) := { ( (sin^4 x+y^4)/(x^2+ y^2), ", se " (x,y) != ( 0,0 )), ( 0 , ", se " (x,y) = ( 0,0 )):} $
Il primo passaggio è stato quello di verificare la continuità della funzione nel punto $(0,0)$ facendo i limiti con il metodo delle restrizioni a rette.
Ho trovato per $x=0$ il risultato $0$ e per $y=0$ il risultato $0$.
Anche ponendo y=mx il risultato del limite mi viene 0. Anche con il passaggio a coordinate polari mi viene 0.
Posso affermare che la funzione è continua e procedere con la differenziabilità?
Nel caso avessi sbagliato(molto probabile) potresti aiutarmi con la risoluzione?
Grazie
Risposte
"Doofy":
verificare la quantità della funzione nel punto $(0,0)$ [...]
Eh?
Comunque, se poni $x=0$ il risultato del limite non viene $2$.
Ho corretto il post, errore mio.
Comunque sia non riesco a risolverlo
Può aiutarmi?
Comunque sia non riesco a risolverlo
Può aiutarmi?
Ciao!
Dipende come hai svolto il limite per studiare la continuità: i limiti in più variabili sono parecchio più subdoli di quelli in una variabile e, specialmente se si è alle prime armi, è facile sbagliare (specialmente il ragionamento sull'uniformità del limite). Prova a scrivere i conti che hai fatto per il calcolo in coordinate polari e li controlliamo!
"Doofy":
Posso affermare che la funzione è continua e procedere con la differenziabilità?
Dipende come hai svolto il limite per studiare la continuità: i limiti in più variabili sono parecchio più subdoli di quelli in una variabile e, specialmente se si è alle prime armi, è facile sbagliare (specialmente il ragionamento sull'uniformità del limite). Prova a scrivere i conti che hai fatto per il calcolo in coordinate polari e li controlliamo!
\Beh, scusa, si tratta di far vedere che puoi maggiorare, almeno intorno a $(0,0)$, l'espressione $|(sin x^4 + y^4)/(x^2 + y^2)| = (sin x^4 + y^4)/(x^2 + y^2)$ con una quantità infinitesima per $(x,y) -> (0,0)$... Vediamo.
Per noti fatti di Analisi I, hai $sin t <= t$ per ogni $t >= 0$ (e, se non ti sono noti, dimostralo!); quindi $sin x^4 <= x^4$ e perciò:
$(sin x^4 + y^4)/(x^2 + y^2) \leq (x^4 + y^4)/(x^2 + y^2) = ((x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2)/(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2) - (2x^2y^2)/(x^2 + y^2)$;
il primo addendo dell'ultimo membro è infinitesimo, quindi dobbiamo controllare l'altro addendo, i.e. $(2x^2y^2)/(x^2 + y^2)$.
Per noti fatti di Analisi I, hai $sqrt(ab) <= (a+b)/2$ per ogni $a, b >= 0$ (e, se non ti sono noti, dimostralo!); quindi $2sqrt(x^2y^2) <= x^2 + y^2$ e perciò:
$(2x^2y^2)/(x^2 + y^2) <= (2x^2y^2)/(2sqrt(x^2 y^2)) = (x^2 y^2)/(|x|\ |y|) = |x|\ |y|$
con l'ultimo membro infinitesimo.
Quindi siamo a cavallo: l'espressione $(sin x^4 + y^4)/(x^2 + y^2)$ è maggiorata da una funzione infinitesima per $(x,y) -> (0,0)$ e perciò essa tende a $0$.
Per noti fatti di Analisi I, hai $sin t <= t$ per ogni $t >= 0$ (e, se non ti sono noti, dimostralo!); quindi $sin x^4 <= x^4$ e perciò:
$(sin x^4 + y^4)/(x^2 + y^2) \leq (x^4 + y^4)/(x^2 + y^2) = ((x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2)/(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2) - (2x^2y^2)/(x^2 + y^2)$;
il primo addendo dell'ultimo membro è infinitesimo, quindi dobbiamo controllare l'altro addendo, i.e. $(2x^2y^2)/(x^2 + y^2)$.
Per noti fatti di Analisi I, hai $sqrt(ab) <= (a+b)/2$ per ogni $a, b >= 0$ (e, se non ti sono noti, dimostralo!); quindi $2sqrt(x^2y^2) <= x^2 + y^2$ e perciò:
$(2x^2y^2)/(x^2 + y^2) <= (2x^2y^2)/(2sqrt(x^2 y^2)) = (x^2 y^2)/(|x|\ |y|) = |x|\ |y|$
con l'ultimo membro infinitesimo.
Quindi siamo a cavallo: l'espressione $(sin x^4 + y^4)/(x^2 + y^2)$ è maggiorata da una funzione infinitesima per $(x,y) -> (0,0)$ e perciò essa tende a $0$.
Non aggiungo niente alla chiara risposta di Gugo, ma ti voglio far notare che questo passaggio
è falso, ed è un tipico errore. Se lungo diverse restrizioni ottieni valori diversi, allora concludi che il limite non esiste. Ma se provi ad andare all'origine con rette, parabole e vengono $0$, questo non è assolutamente sufficiente per dire che il valore del limite è $0$
"Doofy":
Anche ponendo y=mx il risultato del limite mi viene 0. Anche con il passaggio a coordinate polari mi viene 0.
Posso affermare che la funzione è continua e procedere con la differenziabilità?
è falso, ed è un tipico errore. Se lungo diverse restrizioni ottieni valori diversi, allora concludi che il limite non esiste. Ma se provi ad andare all'origine con rette, parabole e vengono $0$, questo non è assolutamente sufficiente per dire che il valore del limite è $0$
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