Differenziabilità implica derivabilità direzionale lungo ogni direzione (teoria)
Buona sera, avrei bisogno di una mano per capire un concetto che non mi è chiarissimo.
Ho visto il teorema che differenziabilità=>derivabilità direzionale lungo qualunque direzione.
Ho visto i controesempi che derivabilià direzionale non implica differenziabilità, ovviamente basta un controesempio per far si che non esista quella condizione.
Tuttavia non capisco perché prendedno la definizione di derivata direzionale e facessi pari pari la dimostrazione di quella in una variabile, cioè porto a primo membro il valore del limite del rapporto incrementale ecc..
Non arrivi a concludere che quello che trovo è un differenziale.
In sostanza perché $\partial_vf$ (cioè quello che in 1 dimensione era il secondo membro f'(x) ) non sempre è una forma lineare (che è ciò che si richiede nella definizione di differenziale in più variabili)?
Non capisco dove sia l'inghippo dimostrativo
Ho visto il teorema che differenziabilità=>derivabilità direzionale lungo qualunque direzione.
Ho visto i controesempi che derivabilià direzionale non implica differenziabilità, ovviamente basta un controesempio per far si che non esista quella condizione.
Tuttavia non capisco perché prendedno la definizione di derivata direzionale e facessi pari pari la dimostrazione di quella in una variabile, cioè porto a primo membro il valore del limite del rapporto incrementale ecc..
Non arrivi a concludere che quello che trovo è un differenziale.
In sostanza perché $\partial_vf$ (cioè quello che in 1 dimensione era il secondo membro f'(x) ) non sempre è una forma lineare (che è ciò che si richiede nella definizione di differenziale in più variabili)?
Non capisco dove sia l'inghippo dimostrativo
Risposte
Perché calcoli mostrano che la dipendenza dal vettore $v$ non è sempre lineare, cosicché non sempre si può scrivere $\partial_v f(x_0) t$ (che sarebbe il pezzo in più da sottrarre al numeratore se scrivessi la dimostrazione che hai in mente) come prodotto scalare tra un vettore $l=l(x_0)$ indipendente da $v$ ed il vettore degli incrementi $tv$; in altri termini, di solito l'uguaglianza:
\[
\partial_v f (x_0)\ t = l\cdot tv
\]
non vale per ogni vettore $v$ e ogni scalare $t$.
Tanto per proporre un esempio classico, la funzione:
\[
f(x,y) := \begin{cases} \frac{y^3}{x^2 + y^2} &\text{, se } (x,y)\neq (0,0)\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
ha tutte le derivate direzionali del mondo in $(0,0)$, date da:
\[
\partial_v f(0,0) = \frac{v_2^3}{v_1^2 + v_2^2} =f(v_1,v_2)
\]
e col cavolo che riesci a scrivere questa funzione come roba lineare...
\[
\partial_v f (x_0)\ t = l\cdot tv
\]
non vale per ogni vettore $v$ e ogni scalare $t$.
Tanto per proporre un esempio classico, la funzione:
\[
f(x,y) := \begin{cases} \frac{y^3}{x^2 + y^2} &\text{, se } (x,y)\neq (0,0)\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
ha tutte le derivate direzionali del mondo in $(0,0)$, date da:
\[
\partial_v f(0,0) = \frac{v_2^3}{v_1^2 + v_2^2} =f(v_1,v_2)
\]
e col cavolo che riesci a scrivere questa funzione come roba lineare...