Differenziabilitá $=>$ derivabilità direzionale

[anto_zoolander]

Premetto che uso la seguente definizione al momento:

sia $f:A->RR$ una funzione con $AsubseteqRR^n$ aperto e sia $x_0 inA$

diremo che $f$ è differenziabile in $x_0$ se:

$•$ $f$ ammette gradiente in $x_0$(è derivabile in $x_0$)

$•$ $lim_(h->vec(0))(f(x_0+h)-f(x_0)-nablaf(x_0)*h)/(||h||)=0$

Devo mostrare che comunque preso un vettore direzione $vec(v)$ esiste la derivata direzionale in $x_0$.
Sia intanto $B={h inA:x_0+h inA}$
Ora per definizione di limite si ha:

$forallepsilon>0existsdelta>0:|(f(x_0+h)-f(x_0)-nablaf(x_0)*h)/(||h||)|
Ora comunque preso un vettore direzione $v$ tale che $||v||=1$ allora basta prendere $|t| E si avrà che $tv inB_(o)(0,delta)capB$ comunque preso $t$ in un opportuno intorno bucato di $0$.

Da cui si deduce che $lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0)-nablaf(x_0)*(tv))/t=0$

Dunque,

$lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t=lim_(t->0)[(f(x_0+tv)-f(x_0)-nablaf(x_0)*(tv))/t+nablaf(x_0)*v]=nablaf(x_0)*v$
Poiché entrambi i limiti esistono, si riduce alla somma di limiti.

È corretto?

[killing_buddha]

Mi sembra giusto.