Differenziabilità => Continuità: domande riguardo la dimostrazione
Se \(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile in \(\displaystyle (x_0,y_0) \Rightarrow f(x,y) \) è continua in \(\displaystyle (x_0,y_0) \)
Dimostrazione
Siccome \(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile per ipotesi, scrivo
[\(\displaystyle \bigstar \)] \(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)+o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
ovvero
\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) +o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
Passo a limite
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
ma quell'o-piccolo tende a 0 per \(\displaystyle (h,k) \rightarrow (0,0) \) quindi rimane
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) \)
Resta da dimostrare che quel prodotto scalare è nullo per poter concludere che f è continua.
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz vale che
\(\displaystyle 0 \: \leq \: |\nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k)| \: \leq \: |\nabla f(x_0,y_0)|\:\: |(h,k)| \)
e dunque per il teorema dei carabinieri il prodotto scalare tende a 0
Abbiamo quindi concluso che
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) \)
ovvero che f è continua in \(\displaystyle (x_0,y_0) \)
----------------------
I miei dubbi a riguardo:
1) Il docente ha detto che la prima uguaglianza [\(\displaystyle \bigstar\)] non ha senso se non si specifica una cosa (riferendosi all'o-piccolo)... ma cosa? L'unica cosa che mi viene in mente è che \(\displaystyle (0,0) \) debba essere un punto di accumulazione... o che \(\displaystyle (h,k) \) debba tendere a \(\displaystyle (0,0) \) ...
2) Perchè bisogna utilizzare Cauchy-Schwarz per dimostrare che il prodotto scalare è zero? Se \(\displaystyle (h,k) \) tende a zero, e il prodotto scalare consiste nel moltiplicare le componenti, perchè non concludiamo sin da subito che il prodotto scalare è zero?
Grazie in anticipo.
Dimostrazione
Siccome \(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile per ipotesi, scrivo
[\(\displaystyle \bigstar \)] \(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)+o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
ovvero
\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) +o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
Passo a limite
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
ma quell'o-piccolo tende a 0 per \(\displaystyle (h,k) \rightarrow (0,0) \) quindi rimane
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k) \)
Resta da dimostrare che quel prodotto scalare è nullo per poter concludere che f è continua.
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz vale che
\(\displaystyle 0 \: \leq \: |\nabla f(x_0,y_0) \bullet (h,k)| \: \leq \: |\nabla f(x_0,y_0)|\:\: |(h,k)| \)
e dunque per il teorema dei carabinieri il prodotto scalare tende a 0
Abbiamo quindi concluso che
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) \)
ovvero che f è continua in \(\displaystyle (x_0,y_0) \)
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I miei dubbi a riguardo:
1) Il docente ha detto che la prima uguaglianza [\(\displaystyle \bigstar\)] non ha senso se non si specifica una cosa (riferendosi all'o-piccolo)... ma cosa? L'unica cosa che mi viene in mente è che \(\displaystyle (0,0) \) debba essere un punto di accumulazione... o che \(\displaystyle (h,k) \) debba tendere a \(\displaystyle (0,0) \) ...
2) Perchè bisogna utilizzare Cauchy-Schwarz per dimostrare che il prodotto scalare è zero? Se \(\displaystyle (h,k) \) tende a zero, e il prodotto scalare consiste nel moltiplicare le componenti, perchè non concludiamo sin da subito che il prodotto scalare è zero?
Grazie in anticipo.
Risposte
"Sergio":
Senza l'ultimo termine quell'uguaglianza non sarebbe un'uguaglianza, perché il secondo membro senza quel termine è un'approssimazione lineare al primo (che in generale non è lineare).
Ok, fin qui è chiaro... ma il docente diceva proprio che mancava qualcosa per poter avere senso quell'uguaglianza... come una precisazione, un dettaglio da specificare altrimenti l'o-piccolo piazzato così non voleva dire nulla
Scusate, ma non si fa prima ad imitare la dimostrazione che si dà nel caso di una sola variabile?
P.S.: Manca $(h,k) -> (0,0)$ a margine della [\(\star\)], probabilmente.
P.S.: Manca $(h,k) -> (0,0)$ a margine della [\(\star\)], probabilmente.
Grazie 
Per evitare l'apertura di un altro topic essenzialmente inutile e trovandoci in tema:
perchè queste due scritture sono equivalenti?
\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0) - o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
.
\(\displaystyle \frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0)}{\sqrt{h^2+k^2}} \)
La prima è stata utilizzata nella dimostrazione partendo dall'ipotesi che f è differenziabile
Qual è precisamente il legame fra le due espressioni per $(h,k) -> (0,0)$?
perchè queste due scritture sono equivalenti?
\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0) - o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
.
\(\displaystyle \frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0)}{\sqrt{h^2+k^2}} \)
La prima è stata utilizzata nella dimostrazione partendo dall'ipotesi che f è differenziabile
Qual è precisamente il legame fra le due espressioni per $(h,k) -> (0,0)$?
"DeltaEpsilon":
\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)- f_y(x_0,y_0) - o(\sqrt{h^2+k^2}) \)
.
Oltre al fatto che mancano un h e un k, ci dovrebbe essere il simbolo di uguale da qualche parte, altrimenti questa frase non ha senso.
La scrittura
\(\displaystyle f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)h- f_y(x_0,y_0)k= o(\sqrt{h^2+k^2}) \mbox{ per}\ (h,k)\to (0,0) \)
è equivalente all'uguaglianza:
\(\displaystyle\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)h- f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0 \)
È praticamente la definizione analitica di o-piccolo.
Grazie mille
Ultima cosa: perchè quando passo al limite, l'o-piccolo va via per $(h,k)->(0,0)$ ?
DeltaEpsilon, riporta qui la definizione di o-piccolo, per favore
L'o-piccolo di una funzione $f(x)$ per $x\rightarrow x_0$ identifica tutte quelle funzioni \(\displaystyle g(x) \) tali che
$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = 0$
e si scrive \(\displaystyle g(x) = o(f(x)) \)
...
in questo caso nella dimostrazione compare $\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} o(\sqrt{h^2+k^2}) = 0$
ma $\sqrt{h^2+k^2}$ al denominatore non c'è
$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = 0$
e si scrive \(\displaystyle g(x) = o(f(x)) \)
...
in questo caso nella dimostrazione compare $\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} o(\sqrt{h^2+k^2}) = 0$
ma $\sqrt{h^2+k^2}$ al denominatore non c'è
E quindi quanto vale
\[
\lim_{(h,k)\to 0} \frac{o(\sqrt{h^2+k^2})}{\sqrt{h^2+k^2}}\ ? \]
\[
\lim_{(h,k)\to 0} \frac{o(\sqrt{h^2+k^2})}{\sqrt{h^2+k^2}}\ ? \]
"dissonance":
E quindi quanto vale
\[
\lim_{(h,k)\to 0} \frac{o(\sqrt{h^2+k^2})}{\sqrt{h^2+k^2}}\ ? \]
ovviamente 0 ma come ho detto prima nella dimostrazione non compare \(\displaystyle \sqrt{h^2+k^2} \) al denominatore
Ma si che compare, vedi bene cosa scrive l'amico Mathita.
Lui ha scritto la stessa cosa ma in maniera diversa, isolando l'o-piccolo al secondo membro e dicendo che tutta quella roba tende a zero se a denominatore piazziamo $\sqrt{h^2+k^2}$ (com'è giusto che sia, per definizione di o-piccolo)
Nella dimostrazione invece compare una somma di limiti, facendo limite del prodotto scalare + limite dell'o-piccolo.
Ma il limite dell'o-piccolo, così da solo, che senso ha?
$ \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} o(\sqrt{h^2+k^2}) $
Nella dimostrazione invece compare una somma di limiti, facendo limite del prodotto scalare + limite dell'o-piccolo.
Ma il limite dell'o-piccolo, così da solo, che senso ha?
$ \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} o(\sqrt{h^2+k^2}) $
Il limite da solo vale \(0\), a maggior ragione. Ma a te non compare il limite da solo.
"dissonance":
Il limite da solo vale \(0\), a maggior ragione
Perchè?
Ragionaci un po'. Prendi \(g(x)=o(x)\) per \(x\to 0\). Quanto vale
\[
\lim_{x\to 0} g(x)\ ?\]
\[
\lim_{x\to 0} g(x)\ ?\]
Zero.
Perchè?
Perchè?
Come perché? Tu me lo devi dire. Siamo rimasti che ci avresti ragionato, no? Fallo, con calma. Questa è una cosa importante, il tuo dubbio dimostra che non hai capito bene gli o-piccoli.
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