Differenziabilità funzioni composte
Mi sono bloccato su una dimostrazione del teorema di differenziabilità delle funzioni composte:
siano:
$f : RR^n supe Omega rarr RR^m $ , differenziabile in $x_0 in Omega$
$g: RR^m supe A : rarr RR^p$, differenziabile in $y_0 = f(x_0) in A$
Consideriamo:
$g(f(x_0+h)) = g(f(x_0) + df_(x_0)(h) + o(||h||)) = $
$= g(f(x_0)) + dg_f(x_0) (df_(x_0) + o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)=$
$ = g(f(x)) + (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) + dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $
in sostanza, aldilà della pesantezza della notazione, si ottiene:
$g(f(x_0+h)) - g(f(x_0)) - (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) = dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $
Provando che la parte a destra dell'identità tende a zero per $h rarr 0$si otterrebbe che la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e che tale differenziale è dato dalla composizione dei due differenziali (di $f$ in $x_0$ e di $g$ in $f(x_0)$). Ma è qui che l'ispirazione è finita e non ho attualmente idee su come fare ciò
siano:
$f : RR^n supe Omega rarr RR^m $ , differenziabile in $x_0 in Omega$
$g: RR^m supe A : rarr RR^p$, differenziabile in $y_0 = f(x_0) in A$
Consideriamo:
$g(f(x_0+h)) = g(f(x_0) + df_(x_0)(h) + o(||h||)) = $
$= g(f(x_0)) + dg_f(x_0) (df_(x_0) + o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)=$
$ = g(f(x)) + (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) + dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $
in sostanza, aldilà della pesantezza della notazione, si ottiene:
$g(f(x_0+h)) - g(f(x_0)) - (dg_(f(x_0)) @ df_(x_0))(h) = dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $
Provando che la parte a destra dell'identità tende a zero per $h rarr 0$si otterrebbe che la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e che tale differenziale è dato dalla composizione dei due differenziali (di $f$ in $x_0$ e di $g$ in $f(x_0)$). Ma è qui che l'ispirazione è finita e non ho attualmente idee su come fare ciò
Risposte
È proprio la definizione di o-piccolo.
Ok, è quindi corretto che:
$dg_(f(x_0))(o(||h||)) =||h||dg_(f(x_0))(o(1)) = o(||h||) $ ?
In ogni caso continua a sfuggirmi perché
$ o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) = o(||h||)$
$dg_(f(x_0))(o(||h||)) =||h||dg_(f(x_0))(o(1)) = o(||h||) $ ?
In ogni caso continua a sfuggirmi perché
$ o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) = o(||h||)$
Magari ci sono altre strade migliori , ti dico quello che mi è venuto in mente.
Dunque usando la tua notazione voglio dimostrare che $dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $ è $o(||h||)$
La prima parte $dg_(f(x_0))(o(||h||))<=M* o(||h||)$ dove $M>0$ ,e quindi è facile verificare che questo è $o(||h||)$. (La stima segue dal fatto che il differenziale è una applicazione lineare)
La seconda parte, se l'argomento dell'$o$ è non nullo allora
$lim_(||h|| ->0) (o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)) / ||h||=lim_(||h|| ->0)(o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||))/||df_(x_0)(h) + o(||h||)|| * ||df_(x_0)(h) + o(||h||)||/||h||$
Il primo fattore è zero per definizione di $o$, l'altro è limitato (disuguaglianza triangolare delle norme+ stima come prima) quindi quel limite è zero.
Ora rimane da trattare il caso $df_(x_0)(h) + o(||h||)=0$ ,utilizzando la differenziabilità di $g$ in $f(x_0)$.
Dunque usando la tua notazione voglio dimostrare che $dg_(f(x_0))(o(||h||)) + o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||) $ è $o(||h||)$
La prima parte $dg_(f(x_0))(o(||h||))<=M* o(||h||)$ dove $M>0$ ,e quindi è facile verificare che questo è $o(||h||)$. (La stima segue dal fatto che il differenziale è una applicazione lineare)
La seconda parte, se l'argomento dell'$o$ è non nullo allora
$lim_(||h|| ->0) (o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||)) / ||h||=lim_(||h|| ->0)(o(||df_(x_0)(h) + o(||h||)||))/||df_(x_0)(h) + o(||h||)|| * ||df_(x_0)(h) + o(||h||)||/||h||$
Il primo fattore è zero per definizione di $o$, l'altro è limitato (disuguaglianza triangolare delle norme+ stima come prima) quindi quel limite è zero.
Ora rimane da trattare il caso $df_(x_0)(h) + o(||h||)=0$ ,utilizzando la differenziabilità di $g$ in $f(x_0)$.
Grazie, la tua risposta mi è stata utile
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