Differenziabilità funzioni 2 variabili

[TheBestNapoli]

Salve, avrei dei problemi a comprendere bene cosa fare nella verifica della differenziabilità di una funzione di 2 variabili.
Io conosco il teorema del differenziale totale che assicura che se la funzione ammette derivate continue in un punto, allora è differenziabile in quel punto.
Conosco anche la definizione di differenziabilità in un punto, e cioè
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))(f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
Poi c'è anche l'altra forma:
$lim_((h,k)->(0,0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
1) So che sono equivalenti, ma c'è un criterio che mi permette di scegliere quale applicare tra queste due in determinate situazioni?
Poi c'è il problema di verificare la differenziabilità in un intervallo o in un insieme di definizione. So che se una funzione è differenziabile in ogni punto dell'intervallo allora è differenziabile in tutto l'intervallo, ma a livello pratico ho delle difficoltà.
Ad esempio io ho la funzione:
$f(x,y)=|x|log(1+y)$
mi si chiede di determinare il gradiente e il dominio del gradiente, dopodichè mi si chiede di stabilire se la funzione è differenziabile in questo dominio.
Allora, io ho calcolato le derivate parziali:
$f_x=|x|/xlog(1+y)$
$f_y=|x|/(1+y)$
Quindi il gradiente è:$\gradf=(|x|/xlog(1+y),|x|/(1+y))$
Il dominio del gradiente è dato dal sistema:
${(x!=0),(1+y>0),(1+y!=0):}rArr{(x!=0),(y> -1):}$
Ora come verifico la differenziabilità in questo dominio?
2) Se considero le derivate parziali esse dovrebbero essere continue per $x!=0$ e per $y> -1$, quindi mi basta questo per dire che la funzione è differenziabile?
3) In generale quando devo verificare la differenziabilità in un intervallo, devo sempre calcolare le derivate parziali e verificare che sono continue in tutto l'intervallo? Se poi trovo che sono continue in quell'intervallo tranne in qualche punto, allora devo applicare la definizione di differenziabilità i quei punti e quindi fare quel limite?
Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno.

[TheBestNapoli]

nessuno può aiutarmi?

EDIT: ops, scusate avevo dimenticato il fuso orario e l'orario dei post mi appare sempre un'ora indietro all'ora effettiva... credevo fossero passate 24 ore