Differenziabilità funzione definita a tratti
stabilire se la seguente funzione è:
i) continua in (0,0)
ii) di Classe C1 in un Intorno di (0,0)
iii) differenziabile in (0,0)
\( f(x,y)=\begin{cases} (x^3+y^3) sin(1/(x^2+y^2)) se (x,y)!=(0,0)\\ 0 se(x,y)=(0,0) \end{cases} \)
i) la funzione è continua in (0,0) perché :
la possiamo identificare col PROLUNGAMENTO PER CONTINUITA' di $g(x,y)=(x^3+y^3)sin(1/(x^2+y^2))$ in $(0,0)$
in quanto : $lim_((x,y)->(0,0)) g(x,y)=0$
ii) La funzione ammette entrambe le derivate parziali nel Punto (0,0) perché esistono finiti i limiti:
$lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h= 0= (partial f)/(partial x)(0,0) $
$lim_(k->0) (f(0,0+k)-f(0,0))/k= 0= (partial f)/(partial y)(0,0) $
Tuttavia, le derivate parziali non sono continue in (0,0) perché:
$ partial/( partial x) ((x ^ 3 + y ^ 3) * sin(1/(x ^ 2 + y ^ 2))) =x[3 x sin( 1 /(x^ 2 +y^ 2 ))- 2(x^ 3 +y^3 )cos( 1/( x^ 2 +y^ 2) )/ (x^ 2 +y^ 2 )^ 2 ) $
$ partial/ (partial y) ((x ^ 3 + y ^ 3) * sin(1/(x ^ 2 + y ^ 2))) = y[3y * sin(1/(x ^ 2 + y ^ 2)) - (2(x ^ 3 + y ^ 3) * cos(1/(x ^ 2 + y ^ 2)))/((x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2)) $
$ (partialf)/ (partial x)(0,0)=not E$ siccome sin(1/0) non ha significato
$ (partialf)/ (partial y)(0,0)=not E$ siccome sin(1/0) non ha significato
quindi la funzione NON è di classe C1
iii) $ lim_((h,k)->(0,0))(h^3+k^3)/(sqrt(h^2+k^2))*sin(1/(h^3+k^3)) =0 $
provato col metodo della maggiorante radiale infinitesima
Risultato: f(x,y) è differenziabile in (0,0)
Il libro è in totale disaccordo con me, sia sul fatto che la funzione sia continua in (0,0) sia sulla sua differenziabilità.
Non mi sembra di aver sbagliato ragionamento, idee?
i) continua in (0,0)
ii) di Classe C1 in un Intorno di (0,0)
iii) differenziabile in (0,0)
\( f(x,y)=\begin{cases} (x^3+y^3) sin(1/(x^2+y^2)) se (x,y)!=(0,0)\\ 0 se(x,y)=(0,0) \end{cases} \)
i) la funzione è continua in (0,0) perché :
la possiamo identificare col PROLUNGAMENTO PER CONTINUITA' di $g(x,y)=(x^3+y^3)sin(1/(x^2+y^2))$ in $(0,0)$
in quanto : $lim_((x,y)->(0,0)) g(x,y)=0$
ii) La funzione ammette entrambe le derivate parziali nel Punto (0,0) perché esistono finiti i limiti:
$lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h= 0= (partial f)/(partial x)(0,0) $
$lim_(k->0) (f(0,0+k)-f(0,0))/k= 0= (partial f)/(partial y)(0,0) $
Tuttavia, le derivate parziali non sono continue in (0,0) perché:
$ partial/( partial x) ((x ^ 3 + y ^ 3) * sin(1/(x ^ 2 + y ^ 2))) =x[3 x sin( 1 /(x^ 2 +y^ 2 ))- 2(x^ 3 +y^3 )cos( 1/( x^ 2 +y^ 2) )/ (x^ 2 +y^ 2 )^ 2 ) $
$ partial/ (partial y) ((x ^ 3 + y ^ 3) * sin(1/(x ^ 2 + y ^ 2))) = y[3y * sin(1/(x ^ 2 + y ^ 2)) - (2(x ^ 3 + y ^ 3) * cos(1/(x ^ 2 + y ^ 2)))/((x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2)) $
$ (partialf)/ (partial x)(0,0)=not E$ siccome sin(1/0) non ha significato
$ (partialf)/ (partial y)(0,0)=not E$ siccome sin(1/0) non ha significato
quindi la funzione NON è di classe C1
iii) $ lim_((h,k)->(0,0))(h^3+k^3)/(sqrt(h^2+k^2))*sin(1/(h^3+k^3)) =0 $
provato col metodo della maggiorante radiale infinitesima
Risultato: f(x,y) è differenziabile in (0,0)
Il libro è in totale disaccordo con me, sia sul fatto che la funzione sia continua in (0,0) sia sulla sua differenziabilità.
Non mi sembra di aver sbagliato ragionamento, idee?
Risposte
Sulla continuità e sulla differenziabilità hai ragione tu. Risultano:
$$0 \le |f(x,y)| \le |x^3+y^3| \to 0 \ \text{per} \ (x,y)\to (0,0)$$
e
$$0 \le \frac{|f(h,k)|}{\sqrt{h^2+k^2}} \le |h|^2+|k|^2 \to 0 \ \text{per} \ (h,k)\to (0,0)$$
Tuttavia, è errato il ragionamento sulla continuità delle derivate parziali. Le espressioni che hai calcolato con le regole di derivazione valgono per $(x,y) \ne (0,0)$, mentre con la definizione hai visto che le derivate parziali sono nulle in $(0,0)$ (i conti fatti con la definizione sono corretti). Non ha senso dire prima che le derivate parziali sono nulle nell'origine e poi dire che esse non sono definite nell'origine; è una contraddizione. Occhio a queste cose, sono dei campanelli di allarme che devono suonare immediatamente. O è sbagliata un'affermazione, o l'altra; non possono coesistere.
Ti chiede la continuità delle derivate in un intorno di $(0,0)$, non nel punto $(0,0)$. Come ti hanno definito gli intorni? Se con intorno di $(0,0)$ in $\mathbb{R}^2$ intendono un cerchio privato del punto $(0,0)$, allora hai la continuità delle derivate per i teoremi di somma, prodotto, composizione, rapporto, ecc. di funzioni continue (a volte, tali intorni vengono detti "intorni bucati"). Se invece vogliono anche il punto $(0,0)$ nel cerchio sopraccitato, devi calcolare i limiti per $(x,y) \to (0,0)$ delle espressioni delle derivate parziali che hai calcolato, e verificare che siano $0$ per poter dire che sono continue in $(0,0)$; oppure, dimostrare che tali limiti sono diversi da $0$ per poter dire che le derivate parziali non sono continue in $(0,0)$.
Per curiosità: che testo stai usando?
$$0 \le |f(x,y)| \le |x^3+y^3| \to 0 \ \text{per} \ (x,y)\to (0,0)$$
e
$$0 \le \frac{|f(h,k)|}{\sqrt{h^2+k^2}} \le |h|^2+|k|^2 \to 0 \ \text{per} \ (h,k)\to (0,0)$$
Tuttavia, è errato il ragionamento sulla continuità delle derivate parziali. Le espressioni che hai calcolato con le regole di derivazione valgono per $(x,y) \ne (0,0)$, mentre con la definizione hai visto che le derivate parziali sono nulle in $(0,0)$ (i conti fatti con la definizione sono corretti). Non ha senso dire prima che le derivate parziali sono nulle nell'origine e poi dire che esse non sono definite nell'origine; è una contraddizione. Occhio a queste cose, sono dei campanelli di allarme che devono suonare immediatamente. O è sbagliata un'affermazione, o l'altra; non possono coesistere.
Ti chiede la continuità delle derivate in un intorno di $(0,0)$, non nel punto $(0,0)$. Come ti hanno definito gli intorni? Se con intorno di $(0,0)$ in $\mathbb{R}^2$ intendono un cerchio privato del punto $(0,0)$, allora hai la continuità delle derivate per i teoremi di somma, prodotto, composizione, rapporto, ecc. di funzioni continue (a volte, tali intorni vengono detti "intorni bucati"). Se invece vogliono anche il punto $(0,0)$ nel cerchio sopraccitato, devi calcolare i limiti per $(x,y) \to (0,0)$ delle espressioni delle derivate parziali che hai calcolato, e verificare che siano $0$ per poter dire che sono continue in $(0,0)$; oppure, dimostrare che tali limiti sono diversi da $0$ per poter dire che le derivate parziali non sono continue in $(0,0)$.
Per curiosità: che testo stai usando?
"Mephlip":
Come ti hanno definito gli intorni?
Con il punto che è "al più" contenuto nell'Intorno sferico del Piano.
Però, solitamente lo abbiamo considerato annesso al dominio.
"Mephlip":
devi calcolare i limiti per (x,y)→(0,0) delle espressioni delle derivate parziali che hai calcolato
Quindi non posso "ad occhio" :
sostituire il punto nell'espressione della derivata parziale (scritta per un generico punto diverso dall'origine)
e poi , nel caso in cui il risultato sia qualcosa che non ha significato ,
concludere che "quella funzione derivata parziale non è continua in quel punto" ?
"Mephlip":
Per curiosità: che testo stai usando?
Il suddetto esercizio (e quelli che sarebbero dovuti essere i risultati), mi è stato assegnato alla lavagna dall'esercitatore durante la correzione dello scritto (per coloro che non hanno superato l'esame)
Ho scritto "libro" per brevità.
Il testo da cui ho studiato i concetti di :
- limiti in due variabili
- differenziabilità in un punto
- eq. del piano tangente
è il bramanti-Esercitazioni ed il bramanti-Teoria
"CallistoBello":
Quindi non posso "ad occhio" :
sostituire il punto nell'espressione della derivata parziale (scritta per un generico punto diverso dall'origine)
e poi , nel caso in cui il risultato sia qualcosa che non ha significato ,
concludere che "quella funzione derivata parziale non è continua in quel punto" ?
Ma lo stai dicendo anche tu ora che l'espressione della derivata parziale è valida per un generico punto diverso dall'origine; quindi che informazioni potrebbe darti quell'espressione nell'origine? È una contraddizione in termini. Hai calcolato le derivate parziali fuori dall'origine e nell'origine, giungendo a:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases} x\left[3 x \sin\frac{1}{x^ 2 +y^ 2}- \frac{2(x^ 3 +y^3 )\cos\frac{1}{x^ 2 +y^ 2}}{(x^ 2 +y^ 2 )^ 2}\right], \ \text{se} \ (x,y) \ne (0,0) \\ 0, \ \text{se} \ (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\begin{cases} y\left[3 y \sin\frac{1}{x^ 2 +y^ 2}- \frac{2(x^ 3 +y^3 )\cos\frac{1}{x^ 2 +y^ 2}}{(x^ 2 +y^ 2 )^ 2}\right], \ \text{se} \ (x,y) \ne (0,0) \\ 0, \ \text{se} \ (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
Queste sono due funzioni definite a tratti proprio come il prolungamento di $f$, quindi la loro continuità va studiata come hai fatto con il prolungamento di $f$; ossia, fuori dall'origine sono continue per i teoremi di somma, prodotto, composizione, rapporto con denominatori non nulli di funzioni continue, nell'origine la continuità si studia calcolandone i limiti per $(x,y)\to (0,0)$ e assicurandosi che tali limiti siano uguali a $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$. Nel caso del prolungamento di $f$ hai calcolato preventivamente il limite per $(x,y) \to (0,0)$, qui devi ancora farlo.
"CallistoBello":
Il suddetto esercizio (e quelli che sarebbero dovuti essere i risultati), mi è stato assegnato alla lavagna dall'esercitatore durante la correzione dello scritto (per coloro che non hanno superato l'esame)
Ho scritto "libro" per brevità.
Il testo da cui ho studiato i concetti di :
- limiti in due variabili
- differenziabilità in un punto
- eq. del piano tangente
è il bramanti-Esercitazioni ed il bramanti-Teoria
Ok, la correzione svolta dall'esercitatore è sbagliata (almeno sui punti che ho riportato prima). Puoi contestarlo, ti riporto lo svolgimento. Qui sotto, per la differenziabilità in $(0,0)$ userò che $\sqrt{h^2+k^2} \ge \sqrt{h^2}=|h|$, che $\sqrt{h^2+k^2} \ge \sqrt{k^2}=|k|$ e la disuguaglianza triangolare. Risulta:
$$0 \le \lim_{(h,k)\to (0,0)} \left|\frac{f(h,k)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|$$
$$=\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{|h^3+k^3|\cdot \left|\sin \frac{1}{h^2+k^2}\right|}{\sqrt{h^2+k^2}} \le \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|h^3+k^3|}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
$$\le \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|h^3|+|k^3|}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|h|^3+|k|^3}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k)\to(0,0)} \left(\frac{|h|^3}{\sqrt{h^2+k^2}}+\frac{|k|^3}{\sqrt{h^2+k^2}}\right)$$
$$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \left(\frac{|h|^3}{|h|}+\frac{|k|^3}{|k|}\right)=\lim_{(h,k)\to(0,0)} (|h|^2+|k|^2)=0$$
Ok, quindi :
- con questo calcolo , io so qual è l'espressione della funzione derivata parziale rispetto all'asse x, nei punti in cui la funzione non è l'origine (e più in generale: nei punti diversi dal punto critico di turno)
- usando la definizione di derivata parziale , conosco qual è l'espressione di quella funzione nel Punto Critico
(nel nostro caso è una funzione costante di costante 0)
Fin qui,riconosco che la derivata parziale rispetto alle x è una funzione definita a tratti
a questo punto ,guardando com'è fatta questa nuova funzione definita a tratti
-sappiamo che la $f_x$ è certamente continua nei punti diversi dall'origine per i teoremi di composizione di funzioni continue
- per verificare se è anche CONTINUA nell'origine , devo applicare la def e cioè calcolare:
$lim_((x,y)->(0,0)) (partialf)/(partialx)(x,y)$
Se quello che ci viene applicando la def continuità è proprio il valore ottenuto utilizzando la def derivata
--> allora quella derivata parziale è continua in (0,0)
- Non ha senso sostituire (0,0) in quella espressione , siccome quella espressione è valida per punti diversi dallo (0,0)
- con questo calcolo , io so qual è l'espressione della funzione derivata parziale rispetto all'asse x, nei punti in cui la funzione non è l'origine (e più in generale: nei punti diversi dal punto critico di turno)
"CallistoBello":
Tuttavia, le derivate parziali non sono continue in (0,0) perché:
∂∂x((x3+y3)⋅sin(1x2+y2))=x⎡⎣⎢3xsin(1x2+y2)−2(x3+y3)cos(1x2+y2)(x2+y2)2⎞⎠⎟
- usando la definizione di derivata parziale , conosco qual è l'espressione di quella funzione nel Punto Critico
(nel nostro caso è una funzione costante di costante 0)
"CallistoBello":
ii) La funzione ammette entrambe le derivate parziali nel Punto (0,0) perché esistono finiti i limiti:
limh→0f(0+h,0)−f(0,0)h=0=∂f∂x(0,0)
Fin qui,riconosco che la derivata parziale rispetto alle x è una funzione definita a tratti
"Mephlip":
Hai calcolato le derivate parziali fuori dall'origine e nell'origine, giungendo a:
∂f∂x(x,y)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x[3xsin1x2+y2−2(x3+y3)cos1x2+y2(x2+y2)2], se (x,y)≠(0,0)0, se (x,y)=(0,0)
a questo punto ,guardando com'è fatta questa nuova funzione definita a tratti
-sappiamo che la $f_x$ è certamente continua nei punti diversi dall'origine per i teoremi di composizione di funzioni continue
- per verificare se è anche CONTINUA nell'origine , devo applicare la def e cioè calcolare:
$lim_((x,y)->(0,0)) (partialf)/(partialx)(x,y)$
Se quello che ci viene applicando la def continuità è proprio il valore ottenuto utilizzando la def derivata
--> allora quella derivata parziale è continua in (0,0)
- Non ha senso sostituire (0,0) in quella espressione , siccome quella espressione è valida per punti diversi dallo (0,0)
Se con "punto critico" intendi, informalmente, i punti la cui derivabilità non viene assicurata dai teoremi di regolarità (quelli che citavo prima su somma, prodotto, composizione, ecc.), allora sì. Ti sconsiglio caldamente di usare la locuzione "punto critico"; essa ha un significato ben preciso in matematica. Ti ho capito, ma è perché sto cercando di aiutarti. Un docente, all'esame, per una cosa del genere ti penalizza e basta. Informalmente è meglio usare un'espressione come "punto problematico" 
.
Per il resto, tutto esatto. Quindi, sono continue o no le derivate parziali in $(0,0)$?
.Per il resto, tutto esatto. Quindi, sono continue o no le derivate parziali in $(0,0)$?
"Mephlip":
Per il resto, tutto esatto. Quindi, sono continue o no le derivate parziali in
$lim _((x,y)->(0,0)) partial/(partialx) ((x^3+y^3)sin(1/(x^2+y^2)))= notexists $
$lim _((x,y)->(0,0)) partial/(partialy) ((x^3+y^3)sin(1/(x^2+y^2)))= notexists $
Siccome possiamo trovare curve diverse, lungo cui il limite della restrizione della funzione a questa curva assume valori diversi.
Risultato: non è verificata la def.Continuità per quelle due funzioni
--> dunque le due derivate parziali non sono Continue in (0,0)
--->la f(x,y) di partenza non è di Classe C1 in un Intorno di (0,0)
"Mephlip":
Ti sconsiglio caldamente di usare la locuzione "punto critico"; essa ha un significato ben preciso in matematica.
Punto Critico è un punto in cui il Gradiente della funzione è il vettore nullo.
Quindi , dovrei riferirmi a quel punto come ad un "punto che può darmi problemi nel verificare la derivabilità con continuità di f(x,y)"
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