Differenziabilità funzione definita a tratti

[cechuz]

$f(x)={ ( x^2sin(1/x)+y, text(, se ) x!= 0 ),( y, text(, se ) x=0 ):} $

mi chiede di studiare la differenziabilità della seguente funzione nel punto $(x_0,y_0)=(0,0) $

so che per definizione una funzione si dice differenziabile se $ EE Vin R | lim_((h_1,h_2) -> (0,0)) (f((x_0,y_0)+(h_1,h_2))-f(x_0,y_0)- ) /(|| h||) =0 $
ma non riesco ad applicare la definizione se non ho $ V $
so anche che $ V= grad f(x_0,y_0) $ che è uguale in questo caso a $ grad f(0,0) $
ma non riesco a calcolare le derivate parziali, o meglio, non so come fare. Chi mi da una mano?

[gugo82]

Limiti dei rapporti incrementali. È la definizione di derivata parziale.

[cechuz]

ti riferisci a questi ? $ f_x(0,0)=lim_(h_1 -> 0) (f(h_1,0)-f(0,0))/(h_1) $ e $ f_y(0,0)=lim_(h_2 -> 0) (f(0,h_2)-f(0,0))/(h_2)$
quindi nel primo caso ho che $f(h_1,0)=h_1^2sin(1/h_1) $ e $f_x(0,0)=lim_(h_1 -> 0) (f(h_1,0)-f(0,0))/(h_1) = lim_(h_1 -> 0)h_1sin(1/h_1) = 0 $

e nel secondo caso ho che $ f_y(0,0)=lim_(h_2 -> 0) (f(0,h_2)-f(0,0))/(h_2) = lim_(h_2 -> 0)h_2/h_2 =1 $
pertanto $ grad f(0,0) = (0,1) $

corretto?

[gugo82]

Sì, giusto!