Differenziabilità funzione con parametro
Ciao a tutti, ho un problema nello studio della differenziabilità della funzione definita come $(sinxsiny)/(x^2+y^2)^(alpha)$ se $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ all'origine.
Per la continuità non ci sono problemi: $sinxsiny∼xy$, e passando alle coordinate polari si tratta di studiare $rho^(2-2alpha)$ che tende a zero se e solo se $alpha<1$.
Le derivate parziali in $(0,0)$ se non erro sono entrambe nulle. Quindi per la differenziabilità si tratta di studiare $lim_((h,k)rarr(0,0)) (f(h,k)-f(0,0))/sqrt(h^2+k^2)=lim_((h,k)rarr(0,0)) (sin hsink)/(h^2+k^2)^(alpha-1/2)$
Il mio problema è: posso trattare $h$ e $k$ come variabili e usare nuovamente le coordinate polari? Se sì, perché mi esce che la funzione è differenziabile per $alpha>3/2$, che uno non ha senso, due non è ovviamente la risposta corretta (ovvero $alpha<1/2$)?
Per la continuità non ci sono problemi: $sinxsiny∼xy$, e passando alle coordinate polari si tratta di studiare $rho^(2-2alpha)$ che tende a zero se e solo se $alpha<1$.
Le derivate parziali in $(0,0)$ se non erro sono entrambe nulle. Quindi per la differenziabilità si tratta di studiare $lim_((h,k)rarr(0,0)) (f(h,k)-f(0,0))/sqrt(h^2+k^2)=lim_((h,k)rarr(0,0)) (sin hsink)/(h^2+k^2)^(alpha-1/2)$
Il mio problema è: posso trattare $h$ e $k$ come variabili e usare nuovamente le coordinate polari? Se sì, perché mi esce che la funzione è differenziabile per $alpha>3/2$, che uno non ha senso, due non è ovviamente la risposta corretta (ovvero $alpha<1/2$)?
Risposte
Non e' $\alpha+1/2$ al denominatore?
Certo. Errore stupido, tutto torna. Grazie 
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