Differenziabilità funzione

DavideGenova1
Ciao, amici!
Sto studiando la differenziabilità nell'origine della funzione definita come
\[f(x,y) = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\sin^2(\sqrt{xy})}{y}, & x>0 \wedge y>0\\
x, & x \le 0 \vee y \le 0
\end{array}
\right.\]
Mi parrebbe ovvio che si debba verificare che $f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k=o(sqrt{h^2+k^2})$ per $(h,k)->(0,0)$, cioè (avendo calcolato, con risultato identico a quello dato come soluzione dal libro, $f_x(0,0)=1$ e $f_y(0,0)=0$, mentre è immediato vedere che $f(0,0)=0$) che \[\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\sin^2(\sqrt{hk})-k}{k\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
mentre il mio libro dice nella soluzione che bisogna verificare che \[\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\sin^2(\sqrt{hk})-hk}{k\sqrt{h^2+k^2}}=0\] con $-hk$ a numeratore e inoltre scrive che \(\frac{\sin^2(\sqrt{hk})-hk}{k\sqrt{h^2+k^2}} \equiv \frac{-(hk)^2}{3k\sqrt{h^2+k^2}}\), espressione di cui non mi faccio una ragione :?
Qualcuno potrebbe essere così gentile da confermare o smentire le mie perplessità?
Grazie $->+oo$ a tutti!!!! :wink:

Risposte
paolotesla91
Scusa Davide ma da come hai scritto la funzione non sembra proprio che $f(0,0)=0$.

DavideGenova1
Grazie di nuovo, Paolo! Ho scritto così perché direi che $x=0 => f(x,y)=x=0$...

paolotesla91
Non ho capito cosa intendi! :S ma se hai risolto va bene così.

DavideGenova1
Voglio dire che la funzione è definita come $f(x,y)=x$ per $x<=0$ quindi se $x=0$ direi che $f(x,y)=x=0$. Può darsi che io sia troppo stanco (quel \(\frac{\sin^2(\sqrt{hk})-hk}{k\sqrt{h^2+k^2}} \equiv \frac{-(hk)^2}{3k\sqrt{h^2+k^2}}\) mi ha fatto venire il mal di testa #-o )... Grazie ancora!!!

paolotesla91
Ma anche no. Semplicemente quella scrittura ti dice che la tua $f$ fa tutta quella roba lì se $(x,y)!=0$, invece $f$ ti fa $x$ se $(x,y)=0$. Ovviamente ho scritto cosi per abbreviare il discorso ma comunque devi tener conto dei punti tali che $x<0,y<0$. Stesso discorso per quello di sopra.

DavideGenova1
Grazie di nuovo, Paolo! Ho capito perché il libro scrive che \(\frac{\sin^2(\sqrt{hk})-hk}{k\sqrt{h^2+k^2}} \equiv \frac{-(hk)^2}{3k\sqrt{h^2+k^2}}\): infatti calcolando il polinomio di Taylor del quadrato del seno mi pare si abbia $sin^2sqrt(hk)=hk-(hk)^2/3+o((hk)^2),hk->0$, nel qual caso noto (sono passato alle coordinate polari e ho calcolato il limite per il raggio tendente a 0) che il limite \( \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\sin^2\sqrt{hk}-hk}{k\sqrt{h^2+k^2}}\) sarebbe 0 (considero $h>0,k>0$ con quell'espressione della funzione perché così è definita per $x>0,y>0$).
Solo che l'espressione del limite mi sembra che debba essere \( \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\sin^2(\sqrt{hk})-k}{k\sqrt{h^2+k^2}}=0\)...

paolotesla91
Ma io non riesco a capire come possano esistere le derivate parziali in $(0,0)$. Come fai a trovarti dei valori finiti?

Plepp
"paolotesla91":
Ma anche no. Semplicemente quella scrittura ti dice che la tua $f$ fa tutta quella roba lì se $(x,y)!=0$, invece $f$ ti fa $x$ se $(x,y)=0$. Ovviamente ho scritto cosi per abbreviare il discorso ma comunque devi tener conto dei punti tali che $x<0,y<0$. Stesso discorso per quello di sopra.


Scusa cosa c'è che non va??? La funzione vale quel bordello lì quando $x$ e $y$ sono contemporaneamente positivi; mentre vale $x$ quando $x\leq 0$ oppure quando $y\leq 0$. Detto questo, è cosi strano che
\[f(0,0)=x|_{(x,y)=(0,0)}=0\qquad ?\]
Non capisco... :-D

DavideGenova1
"paolotesla91":
Ma io non riesco a capire come possano esistere le derivate parziali in $(0,0)$. Come fai a trovarti dei valori finiti?


Io ho calcolato
$f_{x} (x,y)= \lim_{h \to 0} (f(x+h,y)-f(x,y))/h$ e analogamente $f_{y} (x,y)=\lim_{h \to 0} (f(x,y+h)-f(x,y))/h$, ponendo $(x,y)=(0,0)$, punto in cui $f(x,y)=x$, quindi
$f_x(0,0)=\lim_{h \to 0} (f(0+h,0)-f(0,0))/h =\lim_{h \to 0} (h-0)/h=1$ e $f_y(0,0)=\lim_{h \to 0} (f(0,0+h)-f(0,0))/h=\lim_{h \to 0} (0-0)/h=0$ con $f(0,0+h)=0$ perché mi sembra come sopra che $x=0 => f(0,y)=x=0$...

paolotesla91
eh no Davide! infatti viene $lim_(h -> 0) ((sin^2(sqrt((x+h)0)))/0-0)/h$

che non tende $0$. Fai bene i calcoli.

Ps. Comunque si hai ragione avevo sbagliato a leggere la funzione xD

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