Differenziabilità funzione 2 variabili

[drunla]

mercoledì ho l'esame di analisi3 e mi sono incartata su questo esercizio:
"si studi la differenziabilità della seguente funzione in R^2 determinandone il piano tangente e le derivate direzionali nel punto (1,0)"
f(x,y)=(xy)*ln(x^2+y^2) per (x,y)=!(0,0)
0 per (x,y)=(0,0)

dunque io ho trovato le derivate parziali e mi vengono
df/dx=y*ln(x^2+y^2)+(2x^2y)/(x^2+y^2) per (x,y)!=(0,0)
df/dx(0,0)=0

df/dy=x*ln(x^2+y^2)+(2y^2x)/(x^2+y^2) per (x,y)!=(0,0)
df/dy(0,0)=0

poi ho cercato le derivate direzionali nel punto (1,0) e mi vengono =0
quindi anche l'equazione del piano tangente in (1,0) mi viene =0

poi mi fermo su questo punto: faccio il limite per studiare la differenziabilità in (0,0) (è giusto studiarla in (0,0) o dovevo prendere il punto (1,0)?)
x calcolare il limite passo in coordinate polari centrate nell'origine e mi viene un limite del tipo
limite per p->0+ di [p*ln(p^2)]

come si risolve???? grazie mille a chiunque possa aiutarmi

[Addieco86]

Puoi già concludere che le derivate parziali in 0,0 sono entrambe nulle in quanto la funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati, cioè per x=0 o y=0.
Inoltre il limite per la derivabilità risulta proprio come hai riportato tu. ln(p^2)--> 2lnp ed il limite per p->0 di p*lnp fa 0. Potresti vederlo, per esempio, come lnp / (1/p), che è uguale, per de l'hopital, a -p. Ma questo è solo un modo per farlo. Il limite per la differenziabilità risulta quindi nullo.

Non c'è bisogno di calcolare tale limite in altri punti. Infatti la funzione proposta è differenziabile in (x,y)!=(0,0). Infatti è composta da funzioni differenziabili. Si può anche notare che le derivate parziali che tu hai giustamente calcolato sono continue in R^2 !=(0,0). Dove una funzione è di classe C1 allora è anche differenziabile. Concluso che la funzione è differenziabile in (1,0), le derivate direzionali le puoi quindi calcolare con la seguente formula:

df/dx(1,0) * a + df/dy(1,0) * b

con a e b coseni direttori.

Se qualcosa di ciò che ho detto non ti convince chiedi pure.
Cmq mi sembra strano, io queste cose le faccio in analisi I.
Ciao,
Diego

[drunla]

ok t ringrazio TANTISSIMO!io mi ero impiantata su uno stupido limite...! a quanto pare allora x l'esame non sono messa poi tanto male
mi sfuggiva il teorema x il quale se una funzione è di classe C1 allora essa è differenziabile
(non so cosa siano i coseni direttori, io le derivate direzionali le calcolo come prodotto vettoriale tra il gradiente di f nel punto considerato e i vettori V1 e V2)
io ad analisi 1 e 2 queste cose non le ho fatte ma le ste facendo solo ora, frequento la facoltà di ing elettronica a tor vergata e da noi i programmi cambiano a discrezione dei singoli prof.