Differenziabilità funzione

[alevise1992]

Ciao ragazzi,

sto cercando di fissare quello che ho appena letto nei miei appunti.

Ho visto la definizione di funzione differenziabile, con annessa la formula che ne è il fulcro.

Poi ho incontrato il teorema del differenziale totale, che nel succo mi dice 'Se hai una funzione in cui in un punto le derivate parziali esistono e sono continue, allora ivi è differenziabile'.

Mi sorgono a questo punto un paio di domande:

1) Se le derivate parziali esistono in un punto (cioè non tendono ad infinito) non è scontato che ivi siano anche continue? Perchè altrimenti nel teorema mi basterebbe dire che le derivate parziali esistano.

2) Svolgendo un esercizio di differenziabilità nel punto, non basta verificare che le derivate parziali esistano (e siano continue) nel punto per poter dire che li la funzione è differenziabile? Perchè allora in molti casi vedo svolgimenti in cui viene usata la definizione vera e propria, impostando il cosiddetto 'limitone'?

Ringrazio in anticipo per le vostre risposte

[donald_zeka]

L'esistenza della derivata parziale non si limita solo al non essere infinita, ma essendo la derivata parziale nient'altro che un limite, affinchè esista devono esistere e essere uguali i limiti destro e sinistro della derivata parziale, se questi esistono. Inoltre non è assolutamente vero che se la derivata parziale esiste in un punto allora è ivi continua, si possono fare degli esempi che ora non mi vengono in mente. Il teorema del differenziale totale dice che se esistono le derivate perziali e sono continue allora la funzione è certamente differenziabile, se invece esistono le derivate parziali ma non sono continue allora bisogna verificare la differenziabilità con la sua definizione. Se invece le derivate parziali non esistono (cioè non esiste almeno una) allora la funzione non è differenziabile.

[alevise1992]

Grazie per la risposta

quindi il motivo per cui si usa la definizione è perchè anche se riesco a calcolare le derivate parziali nel punto, non è detto che sia rispettata la continuità di quest'ultime nel punto stesso?

Posso chiederti se hai un esempio da propormi in cui le derivate parziali esistono in un punto ma non sono continue?

[billyballo2123]

In generale una funzione può essere derivabile ma non avere la derivata continua. Nel caso unidimensionale si può prendere l'esempio
\[
f(x)=\left\{
\begin{matrix}
x^2\sin\frac{1}{x} & \text{se } x\ne 0 \\
0 & \text{se } x= 0
\end{matrix}
\right.
.
\]
La funzione derivata è
\[
f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}
\]
che non è continua in zero. Ciononostante
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^2\sin\frac{1}{h}-0}{h}=\lim_{h\to 0} h\sin\frac{1}{h}=0,
\]
dunque la funzione è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ (ma non ha derivata continua!).

Se vuoi il caso bidimensionale, basta prendere la funzione sopra e moltiplicarla per $y$
Avresti che la derivata rispetto a $x$ sarebbe
\[
y(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}),
\]
che non è continua nei punti $(0,y)$ con $y\ne 0$, ma la funzione è comunque derivabile in quei punti.

[alevise1992]

Ok, con un esempio diventa sempre tutto più chiaro