Differenziabilità funzione

[Newton_1372]

$f(x,y) = { (0, " se " |y|\geq |x|), ( "sign"(x) sqrt(y^2 - x^2) , " se " |y|<|x|):}$

Io procederei per la differenziabilità in modo diverso da com'è scritto nei miei appunti (che tra l'altro non capisco neanche) per cui posto il mio tentativo sperando in delucidazioni.

Innanzitutto, mi rendo ben conto che, se a tendere a 0 è la x, si avrà sempre $$|x|\geq|y|$$ in valore assoluto, quindi quando calcolo la $$D_x$$ devo prendere la prima espressione. Fin qui è corretto?

[gugo82]

Direi che nelle porzioni di piano individuate dalle limitazioni \(|y|>|x|\) ed \(|y|<|x|\) non ci sono problemi (la funzione è \(C^\infty\) al loro interno).
Gli unici problemi si presentano nei punti appartenenti alle bisettrici dei quadranti. Data la simmetria delle funzione, puoi anche studiare solo ciò che accade nel primo quadrante, cioé nei punti del tipo \((x_0,x_0)\) (appartenenti alla bisettrice d'equazione \(y=x\)) con \(x_0\geq 0\).
Prova, innanzitutto, a studiare le derivate parziali in tali punti usando la definizione.