Differenziabilità funzione
Sia $f:RR^2->RR$ definita da $f(x,y)={(x^2y^2sin(1/(xy)),if xy!=0),(0,if xy=0):}$.
Devo mostrare che è differenziabile su $RR^2$.
Innanzitutto definisco la funzione $phi:RR->RR$, $phi(t)={(t^2sin(1/t),if t!=0),(0,if t=0):}$ e noto che $f(x,y)=phi(xy)$.
$phi$ è continua e derivabile su $RR$, quindi anche differenziabile, visto che in dimensione 1 derivabilità e differenziabilità coincidono.
Ora potrei affermare che $f$ è differenziabile su $RR^2$ perchè composizione di funzioni differenziabili (detta $g:RR^2->RR$, $g(x,y)=xy$ ho che $f(x,y)=phi(g(x,y))$).
Prima però dovrei mostrare che $g$ è differenziabile in $RR^2$, come posso farlo?
Devo mostrare che è differenziabile su $RR^2$.
Innanzitutto definisco la funzione $phi:RR->RR$, $phi(t)={(t^2sin(1/t),if t!=0),(0,if t=0):}$ e noto che $f(x,y)=phi(xy)$.
$phi$ è continua e derivabile su $RR$, quindi anche differenziabile, visto che in dimensione 1 derivabilità e differenziabilità coincidono.
Ora potrei affermare che $f$ è differenziabile su $RR^2$ perchè composizione di funzioni differenziabili (detta $g:RR^2->RR$, $g(x,y)=xy$ ho che $f(x,y)=phi(g(x,y))$).
Prima però dovrei mostrare che $g$ è differenziabile in $RR^2$, come posso farlo?
Risposte
Ad esempio, puoi usare il fatto che \(g\) ha derivate parziali continue su tutto \(\mathbb{R}^2\).
Giusto!
$(delg)/(delx)(x,y)=y$ e $(delg)/(dely)(x,y)=x$ sono entrambe continue dunque $g\inC^1(R^2)$ e dunque $g$ è differenziabile
Grazie!
$(delg)/(delx)(x,y)=y$ e $(delg)/(dely)(x,y)=x$ sono entrambe continue dunque $g\inC^1(R^2)$ e dunque $g$ è differenziabile
Grazie!
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