Differenziabilità : esercizio svolto

previ91
Ciao a tutti ,
ho svolto questo esercizio sulla differenziabilità , volevo chiedervi cosa ne pensate perchè non ne sono sicuro fino in fondo.

"Sia $f:R^2 -> R$ la funzione definita da $f(x,y)={((|y|^(1/2)sinx)/(x^2 +y^2),if (x,y)!=0),(0 if x=0):}$ . Stabilire se f è continua , derivabile e differenziabile in (0,0) e scriverne il piano tangente in $(pi,1)$

CONTINUITA'

moltiplico e divido per x per ottenere il limite notevole $sinx/x = 1$ ; e mi rimane :
$lim_((x,y)->(0,0)) (|y|^(1/2)x)/(x^2 +y^2)$.

Se applico a questo limite la restrizione $f(y,y)$ risulta $1/(2sqrty)$ che non tende a zero , quindi la funzione non è continua nell'origine.

DERIVABILITA'

Mi calcolo le derivate parziali nel punto (0,0) attraverso la loro definizione di limite e risultano entrambe zero. Posso dire inoltre che $nabla(0,0) =0$.

DIFFERENZIABILITA'

La valuto attraverso la definizione :

lim((h,k)->(0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-nabla(0,0)(h,k))/sqrt(h^2 + k^2). Ho sostituito , ho ottenuto il limite notevole $sinx/x$ e ho applicato le coordinate polari arrivando alla conclusione che $sqrt(rho)->0$ per $rho->0$. Quindi la funzione è differenziabile nell'origine.

Ma come è possibile :( la differenziabiltà implica la continuità !!! :( Aiuto

Risposte
Plepp
Che limite ti è venuto fuori? Questo?
\[\lim_{\rho\to 0} \dfrac{\sqrt{\rho} \sqrt{\sin \theta} \sin (\rho\cos\theta)}{\rho^3}\]
Non mi pare per niente che questa roba tenda a zero...

PS: va bene farlo per esercizio, ma se hai verificato che la funzione non è continua, perchè ti vai a verificare la differenziabilità??? :roll:

previ91
Spero di non aver fatto una cavolata nel calcolo di quel limite ; io ho fatto così , senza coordinate polari :

$lim_((x,y)->(0,0)) (|y|^(1/2)sinx)/(x^2 +y^2) x/x =lim_((x,y)->(0,0)) (|y|^(1/2)x)/(x^2 +y^2)$.
Se il limite non tende a zero non è continua allora ho provato la restrizione $f(y,y)$ :

$lim_((y)->(0)) (|y|^(1/2)y)/(y^2 +y^2)->lim_((y)->(0)) (y^(3/2))/(2y^2)->lim_((y)->(0)) 1/(2sqrty) $.

Che non tende a zero ...

Plepp
Si, va benissimo, quindi $f$ non è continua. E perchè allora verifichi che $f$ è differenziabile?

Ammesso che tu l'abbia voluto fare per esercizio, se trovi che $f$ è differenziabile allora avrai sbagliato sicuramente qualcosa, non credi? Il limite che devi calcolare (o meglio, devi verificare che sia $0$) è quello che ho scritto sopra, e palesemente non vale zero.

previ91
Non lo so perchè l'ho calcolato...mi sono dimenticato la teoria in un colpo...mi sembrava strano che potessi fermarmi li...invece :( se non è continua stop

Plepp
Anche non sapendo che la differenziabilità implicasse la continuità, il fatto che ci si potesse fermare lì era in un certo senso suggerito dalla richiesta di trovare il piano tangente in $(\pi, 1)$ e non in $(0,0)$ :-)

previ91
Vedi sono queste intuizioni che mi mancano !!! Grazie mille

Plepp
Figurati ;)

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