Differenziabilità e verifica
Vorrei chiarire una cosa che non ho capito e non so a chi chiedere 
ed eccomi qui.
Allora, io ho so per definizione che per f in due o più variabili:
f è differenziabile se e solo se esiste il limite con la forma lineare per cui vale zero cioè detto in altro modo è differenziabile se e solo se $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+alphah+betak+osqrt(h^2+k^2)$
la forma lineare che deve esistere perché sia differenziabile è $alphah+betak$
Poi trovo il teorema che dice:
se f differenziabile =>
-esistono derivate direzionali in tutte le direzioni
-f è continua
- $alpha=f_x$ e $beta=f_y$
Ora, per verificare la differenziabilità di solito si procede come segue:
- si verifica che esistono le derivate parziali
- si verifica che valga la relazone: $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_xh+f_yk+osqrt(h^2+k^2)$ o il limite correlato sia nullo.
- concludiamo essere differenziabile f
Il dubbio:
se io verifico che vale $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_xh+f_yk+osqrt(h^2+k^2)$ o il limite con $f_x$ e $f_y$ non sto togliendo delle possibilità per cui sia differenziabile?
Mi spiego:
se io dico: esiste il limite con $alpha$ e $beta$ <=> differenziabilie =(THM)=> $alpha=f_x$ e $beta=f_y$
vuol dire che quando differenziabile sicuramente $alpha=f_x$ e $beta=f_y$ ma nn è detto il contrario, ossia che se trovo $alpha=f_x$ e $beta=f_y$ ed esiste il limite => f sia differenziabile, ossia esista il limite con $alpha!=f_x$ e $beta!=f_y$.
Quando verifico però di solito parto guardando:
- continuità
- verifico che esistono $f_x$ e $f_y$
- e infine imposto il limite con $alpha=f_x$ e $beta=f_y$ e vedo se esiste.
Ma per le implicazini viste il terzo punto non mi convince perché potrebbe benissimo esserci un caso in cui:
- $alpha!=f_x$ e $beta!=f_y$
- ma esistere il limite con $alpha!=f_x$ e $beta!=f_y$ e non quello con $alpha=f_x$ e $beta=f_y$. Questo perché il THM succitato mi dà un => e non un <=>.
Per come sono messe le implicazioni dovrebbe andare così, quindi mi sfugge qualcosa.
ed eccomi qui.Allora, io ho so per definizione che per f in due o più variabili:
f è differenziabile se e solo se esiste il limite con la forma lineare per cui vale zero cioè detto in altro modo è differenziabile se e solo se $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+alphah+betak+osqrt(h^2+k^2)$
la forma lineare che deve esistere perché sia differenziabile è $alphah+betak$
Poi trovo il teorema che dice:
se f differenziabile =>
-esistono derivate direzionali in tutte le direzioni
-f è continua
- $alpha=f_x$ e $beta=f_y$
Ora, per verificare la differenziabilità di solito si procede come segue:
- si verifica che esistono le derivate parziali
- si verifica che valga la relazone: $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_xh+f_yk+osqrt(h^2+k^2)$ o il limite correlato sia nullo.
- concludiamo essere differenziabile f
Il dubbio:
se io verifico che vale $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_xh+f_yk+osqrt(h^2+k^2)$ o il limite con $f_x$ e $f_y$ non sto togliendo delle possibilità per cui sia differenziabile?
Mi spiego:
se io dico: esiste il limite con $alpha$ e $beta$ <=> differenziabilie =(THM)=> $alpha=f_x$ e $beta=f_y$
vuol dire che quando differenziabile sicuramente $alpha=f_x$ e $beta=f_y$ ma nn è detto il contrario, ossia che se trovo $alpha=f_x$ e $beta=f_y$ ed esiste il limite => f sia differenziabile, ossia esista il limite con $alpha!=f_x$ e $beta!=f_y$.
Quando verifico però di solito parto guardando:
- continuità
- verifico che esistono $f_x$ e $f_y$
- e infine imposto il limite con $alpha=f_x$ e $beta=f_y$ e vedo se esiste.
Ma per le implicazini viste il terzo punto non mi convince perché potrebbe benissimo esserci un caso in cui:
- $alpha!=f_x$ e $beta!=f_y$
- ma esistere il limite con $alpha!=f_x$ e $beta!=f_y$ e non quello con $alpha=f_x$ e $beta=f_y$. Questo perché il THM succitato mi dà un => e non un <=>.
Per come sono messe le implicazioni dovrebbe andare così, quindi mi sfugge qualcosa.
Risposte
Se $f$ è differenziabile, allora $\alpha$ e $\beta$ sono per forza rispettivamente $f_x$ e $f_y$. Quindi se il limite non esiste con quei valori non esiste per niente, altrimenti sarebbe differenziabile e per il teorema i varori sarebbero quelli, ti torna?
Uhh forse mi hai fatto accendere una lampadina:
in effetti se io suppongo che esistono per assurdo che $α≠f_x e β≠f_y$ tali per cui vale il limite, automarticamente dato che vale il limite è differenziabile per def. ma se è differenziabile ciò implica che α=f_x e β=0_fy. Assurdo.
Mi ero impallonato sul fatto che dicevo: esiste il limite con α e β => α=fx e β=fy e quindi dicevo è tipo se padre allora è maschio, ma non tutti i maschi sono padri. Ma erravo perché io sto dicendo qualcosa tipo: se padre allora è maschio, quindi ogni padre è maschio
in effetti se io suppongo che esistono per assurdo che $α≠f_x e β≠f_y$ tali per cui vale il limite, automarticamente dato che vale il limite è differenziabile per def. ma se è differenziabile ciò implica che α=f_x e β=0_fy. Assurdo.
Mi ero impallonato sul fatto che dicevo: esiste il limite con α e β => α=fx e β=fy e quindi dicevo è tipo se padre allora è maschio, ma non tutti i maschi sono padri. Ma erravo perché io sto dicendo qualcosa tipo: se padre allora è maschio, quindi ogni padre è maschio
in effetti se io suppongo che esistono per assurdo che $4α≠fx$ e $β≠fy$ tali per cui vale il limite, automarticamente dato che vale il limite è differenziabile per def. ma se è differenziabile ciò implica che $α=f_x$ e $β=f_y$. Assurdo perché li avevo posti diversi da quei valori.ops ho fatto un typo.
Quindi questo mi sta dicendo che se devo provare la differenziabilità non devo andarlo a provare per qualunque alpha e beta tanto so che alpha e beta sono tutti della forma fx e fy, quindi mi basta prendere tutti gli fx e fy
Comunque, ho visto che non hai piu avuto modo di rispondere. Ma dato che sono in fase di ripasso mi è tornato in mente e volevo capire se avessi detto giusto
Ah non avevo capito che volevi sapere se avevi fatto bene, 
comunque si va bene.
comunque si va bene.
Sì grazie, ci tenevo solo per esserne certo perché alcune volte prendo certe cantonate!
E poi, ti avrei ringraziato per chiudere non avrei lasciato il discorso senza un doveroso grazie mille
E poi, ti avrei ringraziato per chiudere non avrei lasciato il discorso senza un doveroso grazie mille
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