Differenziabilità e $o$ piccoli
Ciao, amici! Ripassando il mio libro di analisi noto che definisce differenziabile una funzione \(\boldsymbol f:D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) differenziabile in \(\boldsymbol x\in\mathring{D}\) quando esiste un'applicazione lineare $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ tale che\[\boldsymbol f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)=L(\boldsymbol h)+o(\|\boldsymbol h\|),\quad \boldsymbol h\to \mathbf 0\]
Tuttavia a me, allla luce delle dimostrazioni che il testo presenta e di applicazioni sia del testo, sia di altri testi, sembra che la funzione \(o\) sia funzione dell'incremento \(\boldsymbol h\) piuttosto che di \(\|\boldsymbol h\|\), al contrario di ciò che, per quel che so io di utilizzo delle notazioni di Landau, la scrittura \(o(\|\boldsymbol h\|)\) parrebbe suggerire: sbaglio?
Grazie $\to\infty$!
Tuttavia a me, allla luce delle dimostrazioni che il testo presenta e di applicazioni sia del testo, sia di altri testi, sembra che la funzione \(o\) sia funzione dell'incremento \(\boldsymbol h\) piuttosto che di \(\|\boldsymbol h\|\), al contrario di ciò che, per quel che so io di utilizzo delle notazioni di Landau, la scrittura \(o(\|\boldsymbol h\|)\) parrebbe suggerire: sbaglio?
Grazie $\to\infty$!
Risposte
Ciao Davide, non credo di aver colto bene il problema. La formula che hai riportato equivale a
\[\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}}\, \left\|\dfrac{\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{L}(\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|}\right\| =0\]
In che senso
?
\[\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}}\, \left\|\dfrac{\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{L}(\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|}\right\| =0\]
In che senso
"DavideGenova":
sembra che la funzione o sia funzione dell'incremento h piuttosto che di ∥h∥, al contrario di ciò che, per quel che so io di utilizzo delle notazioni di Landau, la scrittura o(∥h∥) parrebbe suggerire
?
A te non interesa di "come" (da che direzione) \(\mathbf{h}\) tende a \(0\), ma ti basta che ci vada! 
Ah, ecco. Avevo immaginato che \(o(\|\boldsymbol{h}\|)\) significasse che tale funzione \(o(\|\boldsymbol{h}\|)\) fosse funzione di \(\|\boldsymbol{h}\|\), mentre \(\boldsymbol f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)-L(\boldsymbol h)=o(\| \boldsymbol{h} \|)\), invece, è funzione di \(\boldsymbol{h}\).
Grazie, ragazzi!!!
Grazie, ragazzi!!!
Non capisco cosa vuoi dire, Davide. L'o-piccolo di \(\|h\|\) è funzione di \(\|h\|\), non di \(h\). Su questo ha ragione Emar.
La funzione \(o(\|\boldsymbol h\|)\) non è \(\boldsymbol h \mapsto \boldsymbol f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)-L(\boldsymbol h)\) (che non è funzione di \(\|\boldsymbol h\|\))? $\infty$ grazie ancora!!!
Ah si in effetti hai ragione. La cosa migliore in questi casi è scrivere \[ o(\| h \| ) = \epsilon(h)\|h\|, \]cosi' uno non si sbaglia. Qui \(\epsilon(h)\) è una roba qualsiasi la cui unica proprietà è di tendere a zero.
Sinceramente il problema più grande sarebbe che \(f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbf{R}^n\), \(L\colon \mathbb{R}^n\to\mathbf{R}^n\) ma \(\lVert \bullet\rVert\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\). Perciò a rigore \(\displaystyle o(\lVert \mathbf{h}\rVert) \) è una classe di funzioni da \(\mathbb{R}^n\) in \(\mathbb{R}\). Perciò ad essere seri la scritta \(f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) - f(\mathbf{x}) = L(\mathbf{x}) + o(\lVert \mathbf{h}\rVert)\) è mal posta perché la somma a destra dell'uguale non è definita.
Il problema però ora è com'è definito \(\displaystyle o(\mathbf{h}) \) ? Nel senso, io non sono un analista ma non ricordo di aver visto definizioni dell' \(\displaystyle o \)-piccolo multidimensionali.
Il problema però ora è com'è definito \(\displaystyle o(\mathbf{h}) \) ? Nel senso, io non sono un analista ma non ricordo di aver visto definizioni dell' \(\displaystyle o \)-piccolo multidimensionali.
Ripensandoci mi sono accorto che potrebbe essere resa sensata se si ‘allarga’ il concetto di \(\displaystyle o \).
Nel caso monodimensionale si ha che \(\displaystyle f = o(g) \) se \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\). Se le due funzioni hanno immagine in \(\displaystyle \mathbb{R}^m \) allora la definizione non ha senso perché la divisione non è definita. D'altra parte lo spazio delle funzioni è uno spazio vettoriale ed è quindi definita la divisione per uno scalare. Perciò dati \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}^n \to\mathbb{R}^m \) e \(\displaystyle g\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \) con \(\displaystyle g(\mathbf{0}) = 0 \) posso definire \(\displaystyle f = o(g) \) se \(\displaystyle \lim_{\lVert \mathbf{h} \rVert\to 0} \frac{f(\mathbf{h})}{g(\mathbf{h})} = \mathbf{0}\). Perciò, se si usa questa definizione, è senz'altro corretto scrivere \(\displaystyle o(\lVert\mathbf{h}\rVert) \). Infatti \(\displaystyle o(\mathbf{h}) \) non è definibile.
Nel caso monodimensionale si ha che \(\displaystyle f = o(g) \) se \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\). Se le due funzioni hanno immagine in \(\displaystyle \mathbb{R}^m \) allora la definizione non ha senso perché la divisione non è definita. D'altra parte lo spazio delle funzioni è uno spazio vettoriale ed è quindi definita la divisione per uno scalare. Perciò dati \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}^n \to\mathbb{R}^m \) e \(\displaystyle g\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \) con \(\displaystyle g(\mathbf{0}) = 0 \) posso definire \(\displaystyle f = o(g) \) se \(\displaystyle \lim_{\lVert \mathbf{h} \rVert\to 0} \frac{f(\mathbf{h})}{g(\mathbf{h})} = \mathbf{0}\). Perciò, se si usa questa definizione, è senz'altro corretto scrivere \(\displaystyle o(\lVert\mathbf{h}\rVert) \). Infatti \(\displaystyle o(\mathbf{h}) \) non è definibile.
Sono d'accordo ma la tua nuova definizione è equivalente a $o(|g|)$. Il che è giusto, sono stime quantitative, devono essere numeri positivi. (Poi sono concetti più operativi che teorici: servono nei conti concreti, non tanto nella teoria. Per quello non c'è da formalizzare tanto IMHO)
"vict85":Interessante anche questo. Mi stupiva il fatto che un $o$ piccolo di qualcosa potesse non essere funzione di quel qualcosa. Ammetto che la prima volte che ho studiato la differenziabilità non ci avevo pensato, ma, ripensando ad una tale definizione con un pochettino in più di maturità matematica me ne sono sorpreso.
Infatti \(\displaystyle o(\mathbf{h}) \) non è definibile.
Grazie di cuore a tutti quanti!
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